[Luogu4009] 汽车加油行驶问题

Description

给定一个 \(N \times N\) 的方形网格，设其左上角为起点◎，坐标\((1,1)\)，\(X\) 轴向右为正， \(Y\) 轴向下为正，每个方格边长为 \(1\) ，如图所示。

一辆汽车从起点◎出发驶向右下角终点▲，其坐标为 \((N,N)\)。

在若干个网格交叉点处，设置了油库，可供汽车在行驶途中加油。汽车在行驶过程中应遵守如下规则:

1. 汽车只能沿网格边行驶，装满油后能行驶 \(K\) 条网格边。出发时汽车已装满油，在起点与终点处不设油库。

2. 汽车经过一条网格边时，若其 \(X\) 坐标或 \(Y\) 坐标减小，则应付费用 \(B\) ，否则免付费用。

3. 汽车在行驶过程中遇油库则应加满油并付加油费用 \(A\)。

4. 在需要时可在网格点处增设油库，并付增设油库费用 \(C\)(不含加油费用\(A\) )。

5. \(N,K,A,B,C\) 均为正整数， 且满足约束: \(2\leq N\leq 100,2 \leq K \leq 10\)。 设计一个算法，求出汽车从起点出发到达终点所付的最小费用。

Input

文件的第一行是 \(N,K,A,B,C\) 的值。 第二行起是一个\(N\times N\) 的 \(0-1\) 方阵,每行 \(N\) 个值,至 \(N+1\) 行结束。 方阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列处的值为 \(1\) 表示在网格交叉点 \((i,j)\) 处设置了一个油库,为 \(0\) 时表示未设油库。各行相邻两个数以空格分隔。

Output

程序运行结束时,输出最小费用。

Sample Input

9 3 2 3 6
0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0

Sample Output

12

Hint

\(2 \leq n \leq 100,2 \leq k \leq 10\)

题解

当你再读这篇题解之前，请现将题目读三边！！！（贡献我的\(WA\)）

其实这题的思路很简单，就是一个\(BFS+DP\)。

我们用\(dp[i][j][k]\)表示到达坐标为\((i,j)\)的点时，剩余能走\(k\)步时的最小花费，显然状态转移方程为\(dp[i][j][k]=min(dp[i][j][k],cost)\)（\(cost\)为此时的花费）。

有注释的代码很简单……

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;

const int N=120,maxK=20,INF=9999999;
const int ZB[2][2]={{1,0},{0,1}};//坐标变换
int n,K,A,B,C,mp[N][N];//输入用的
int dp[N][N][maxK];//状态
struct node
{
	int x,y,oil;
};
queue<node> Q;

int Check(int x,int y)
{
	if(x<1||x>n||y<1||y>n) return 0;
	return 1;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d%d%d",&n,&K,&A,&B,&C);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j)
			for(int k=0;k<=K;++k) dp[i][j][k]=INF;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=1;j<=n;++j) scanf("%d",&mp[i][j]);
	for(int i=0;i<=K;++i) dp[1][1][i]=0;//赋初值，即一开始的花费为0
	Q.push((node){1,1,K});
	node top,next;
	int cost;
	while(!Q.empty())
	{
		top=Q.front(); Q.pop();
		for(int i=0;i<=1;++i)
		{
			next=(node){top.x+ZB[i][0],top.y+ZB[i][1],top.oil-1};
			if(Check(next.x,next.y))
			{
				cost=dp[top.x][top.y][top.oil];
				if(mp[next.x][next.y]) cost+=A,next.oil=K;//有油库，按照题意，必须加油
				if((!next.oil)&&((next.x!=n)||(next.y!=n))) cost+=A+C,next.oil=K;
				//此处有坑，如果到达终点，即使没有油也不需加油！！！
				if(cost>=dp[next.x][next.y][next.oil]) continue;//不是最优解
				dp[next.x][next.y][next.oil]=cost;
				for(int j=next.oil-1;j>=0;--j)//更新结果
				{
					if(dp[next.x][next.y][j]>cost)
						dp[next.x][next.y][j]=cost;
					else break;//优化
				}
				Q.push(next);
			}
		}
		for(int i=0;i<=1;++i)//和上面的差不多
		{
			next=(node){top.x-ZB[i][0],top.y-ZB[i][1],top.oil-1};
			if(Check(next.x,next.y))
			{
				cost=dp[top.x][top.y][top.oil]+B;
				if(mp[next.x][next.y]) cost+=A,next.oil=K;
				if((!next.oil)&&((next.x!=n)||(next.y!=n))) cost+=A+C,next.oil=K;
				if(cost>=dp[next.x][next.y][next.oil]) continue;
				dp[next.x][next.y][next.oil]=cost;
				for(int j=next.oil-1;j>=0;--j)
				{
					if(dp[next.x][next.y][j]>cost)
						dp[next.x][next.y][j]=cost;
					else break;
				}
				Q.push(next);
			}
		}
	}
	printf("%d\n",dp[n][n][0]);
	return 0;
}