[NOIp2000] 方格取数

Description

设有\(N \times N\)的方格图\((N \le 9)\)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字\(0\)。如下图所示（见样例）:

A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                         B

某人从图的左上角的\(A\)点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的\(B\)点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字\(0\)）。
此人从\(A\)点到\(B\)点共走两次，试找出\(2\)条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

Input

输入的第一行为一个整数\(N\)（表示\(N \times N\)的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的\(0\)表示输入结束。

Output

只需输出一个整数，表示\(2\)条路径上取得的最大的和。

Sample Input

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

Sample Output

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题解

求最大值问题一般用DP或贪心，而这题考察的是是四维DP，先考虑两个人同时走：

则状态为dp[i][j][x][y]，表示从第一个人从(1,1)走到(i,j)的最大收获与第二个人从(1,1)走到(x,y)的最大收获之和。

又可以得到状态转移方程为：dp[i][j][x][y]=MAX(dp[i-1][j][x-1][y],dp[i-1][j][x][y-1],dp[i][j-1][x-1][y],dp[i][j-1][x][y-1])+num[i][j]+num[x][y];

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N=12;
int num[N][N],dp[N][N][N][N];

int MAX(int a,int b,int c,int d)
{
	int Max1=(a>b)?a:b,Max2=(c>d)?c:d;
	return (Max1>Max2)?Max1:Max2;
}

int main()
{
	int n,a,b,c;
   	scanf("%d%d%d%d",&n,&a,&b,&c);
	while (a+b+c!=0)
	{
		num[a][b]=c;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
	}
	for (register int i=1;i<=n;i++)
		for (register int j=1;j<=n;j++)
			for (register int x=1;x<=n;x++)
				for (register int y=1;y<=n;y++)
				{
					dp[i][j][x][y]=MAX(dp[i-1][j][x-1][y],dp[i-1][j][x][y-1],dp[i][j-1][x-1][y],dp[i][j-1][x][y-1])+num[i][j]+num[x][y];
					if (i==x&&j==y) dp[i][j][x][y]-=num[i][j];
				}
	printf("%d\n",dp[n][n][n][n]);
	return 0;
}