BZOJ 100x 做题记录

#1000. A+B Problem#

太难了，不会。

#1001. [BeiJing2006]狼抓兔子#

印象很深刻，接触对偶图的第一题，跳过。

#1002. [FJOI2007]轮状病毒#

可以看出，一个轮状病毒满足将外部的环断成若干段，每段向中心点连恰好一条边。

可以先考虑一条链的做法。设 $f(n)$ 为长度为 $n$ 的链的答案，则满足 $f(n)=\sum_i f(n-i)\cdot i$。

放到环上就是枚举一条链的位置后，乘以剩下的一段的长度。Code（注意高精度实现有误，因为数据水所以过了）

#1003. [ZJOI2006]物流运输#

注意到码头数量很小，所以用状态压缩 DP 出只经过某个集合中的点时的最短路径长度。然后再 DP 出每天选择每种路径的最小花费。Code

#1004. [HNOI2008]Cards#

复习一下 Burnside 引理。

$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|X^g|$$

$X$ 是一些从 $A$ 到 $B$ 的映射组成的集合。当时我因为没有弄清映射的概念，在这道题上卡了很久。

有了这个公式题目就简单了。把每种洗牌法拆成不相交的循环置换，那么循环置换内的点颜色必须相同。所以答案只与每个循环置换的大小有关。用类似背包的东西，每次加入一个置换，就能统计出每一种洗牌法的方案数。不要忘记每个点都不动也算一种洗牌法。所以最终答案就是所有洗牌法的答案相加除以 $m+1$。 Code

#1005. [HNOI2008]明明的烦恼#

直接用 prufer 序列做。一个点度数为 $d$ 就得在序列中出现恰好 $d-1$ 次。故答案为

$$T^u\binom{n-2}{u}\frac{(n-2-u)!}{\prod_{d_i>0}(d_i-1)!}$$

其中 $u=n-2-\sum_{d_i>0}(d_i-1)$，即度数没有确定的点占用的位置总数；$T=\sum_i[d_i=-1]$，即度数没有确定的点的总数。

一个细节在于如何做除法。高精度除法是可以避免的。只需要把所有除数分解质因数，然后做乘法时尝试用所有质数去消除它再乘入答案即可。然而当时我忘记了很久以前写的 阶乘分解质因数技巧，而是集中分解，速度也很快。Code

#1006. [HNOI2008]神奇的国度#

关于 弦图 的科技题，挖个坑，有时间再来学。

#1007. [HNOI2008]水平可见直线#

猜测最上面的折线形状为一个凸包，用反证法不难（？）证明。于是用一个单调栈就水过去了。Code

#1008. [HNOI2008]越狱#

究极大水题。正难则反。Code

#1009. [HNOI2008]GT考试#

先考虑 $n\le 10^5$ 时怎么做。设 $f(i,j)$ 表示有 $i$ 个位置，其长为 $j$ 的后缀中填上了不吉利数字的前缀的答案。

$$f(i,j)=\begin{cases}f(i-1,j-1)-c_jf(i-1,m-1)&j>0\\10f(i-1,0)-f(i-1,m-1)&j=0\end{cases}$$

其中 $c_i$ 表示不吉利数字是否存在长为 $i$ 的 border。

然后矩阵加速。Code