贪心学习笔记

排序不等式#

内容#

设有两个长为 $n$ 的单调不降的数列，分别为 $A=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ 和 $B=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，$(p_1,p_2,\cdots,p_n)$ 是自然数 $1$ 到 $n$ 的任意一个排列，则有：

$$\sum_{i=1}^n a_ib_{n-i+1}\le\sum_{i=1}^n a_ib_{p_i}\le\sum_{i=1}^n a_ib_i$$

简记：逆序和小于等于乱序和小于等于顺序和。

证明#

令 $x_i=\sum_{j=1}^i b_j$，$y_i=\sum_{j=1}^i b_{p_j}$，$z_i=\sum_{j=1}^i b_{n-j+1}$。

易得：当 $i<n$ 时，$x_i\le y_i\le z_i$。$x_n=y_n=z_n$。

$\because a_i-a_{i+1}\le 0$

$\therefore (a_i-a_{i+1})x_i\ge (a_i-a_{i+1})y_i\ge (a_i-a_{i+1})z_i$

因为（展开即可推出）：

$$a_nx_n+\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})x_i=\sum_{i=1}^na_ib_i$$

$$a_ny_n+\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})y_i=\sum_{i=1}^na_ib_{p_i}$$

$$a_nz_n+\sum_{i=1}^{n-1}(a_i-a_{i+1})z_i=\sum_{i=1}^na_ib_{n-i+1}$$

所以：

$$\sum_{i=1}^n a_ib_{n-i+1}\le\sum_{i=1}^n a_ib_{p_i}\le\sum_{i=1}^n a_ib_i$$

例题#

P1966 NOIP2013 D1T2 火柴排队#

因为：

$$\sum(a_i-b_i)^2=\sum a_i^2+\sum b_i^2-\sum a_ib_i$$

所以只要让 $\sum a_ib_i$ 最大即可。