合集-思维
摘要：题目概述 给定 \(n\)，连边方式 \(i\) 连向 \(j\) 满足 \(1\leq i<j\leq n\)。 求对于 \(k\in[0,n]\)，恰好有 \(k\) 个点 \(x\) 满足 \(1\rightarrow x\rightarrow n\)。 数据范围：\(1\leq n\leq
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摘要：## 评价
一道非常好的思维题目！！！
## 分析
注意到：从三个数选一个中位数。
似乎没有什么好的方法，但是每一层的迭代有一种相似方法。
我们假设一个答案。
将大于等于答案的标记为 $1$，其他的为 $0$。
三——一个非常重要的数，我们要考虑以下：
```
全是0:000 -> 0
一个1:001 -> 0
两个1:101 -> 1
三个1:111 -> 1
```
我们发现得到的答案取决于数量（$0$ 多还是 $1$ 多）。
那我们怎么确定他能一直走到尾呢？
注意到：
```
??? -----> 00?
x00zy x00zy
```
也就是说，两个连续的在一起，能够使得上面也一样（但是要看边界）。
注意到要是中间有连续的（即最靠近中间的一段 $0$ 或者 $1$）说明顶尖就是大于等于数字。
我们发现这样具有单调性，于是乎可以考虑二分答案解决。
然后我们就很好的解决了该问题。
总时间复杂度 $\mathcal{O}(n\log n).$
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摘要：给一个 $1$ 到 $n$ 的排列 $a$，并且给出点权 $x_i$，并定义：
$$
LCA\{b\}=lca(lca(\dots(b_1,b_2),\dots),b_m)
$$
其中 $lca(x,y)$ 表示 $x$ 和 $y$ 的最近公共祖先。
并且给出一颗树。
求：
$$
ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^nx_{LCA_{i\in[i,j]}\{a_i\}}
$$
像这种比较经典的双 sigma 题目，最最最最暴力的解法是 $\mathcal{O}(n^3)$（先不考虑这里求 $LCA$ 的 $\log$）。
于是就很简单地拿到了此题的 $40$ 分。
那么怎么优化到 $\mathcal{O}(n\log n)$ 呢？
我一般的思路是直接上线段树。
我们这颗线段树（显然维护的是 $dfs$ 序区间）维护两个值，一个是 $cnt$ 代表这段区间内有点作为 $lca$ 的总方案，$sum$ 就是加和实际的数量 $\times x_{lca}$，注意到这里只有在有可能作为 $lca$ 的点上相乘，`pushup` 的时候都是加和（这里的思路比较巧妙）。
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摘要：# CF140E New Year Garland 题目分析
挺不错的动态规划题目。
## 思路
一看到题目便可以知道每一层和层与层之间是要分开来算的（这种类似的动态规划还有很多）。
我们先看看层与层之间的。
### 层与层
题目要求：**相邻的两层的小球颜色集合不相同**。
那么区分相邻两层小球颜色集合不同可以通过**数量不同来区分**，然后再进行讨论即可。
根据上述，显然地，设 $f_{i,j}$ 表示已经完成前 $i$ 层，到了第 $i$ 层小球颜色集合的数量为 $j$ 的总方案。
我们先抛开重不重复不谈，那么它的总方案肯定是从前面的那一层转移过来，即 $f_{i-1,k}$，其中 $k\in [1,l_{i-1}]$。
那么是不是就是
$$
f_{i,j}=\sum_{k=1}^{l_{i-1}}f_{i-1,k}
$$
呢？显然不是，这里的 $j$ 是数量，并不是选了什么，因此还要有 $C_m^j$ 来确定选 $j$ 种颜色球的方案（这是对于当前 $i$ 的）。
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摘要：## 题目概述
给你一个排列 $p$，共有 $n$ 个元素，你可以选择两个数 $i,j$，然后将 $p_i$ 移动到位置 $j$，这个过程需要花费 $i+j$ 的代价，问你通过这些操作过后所能使 $p$ 变为降序的最小代价。
## 思路
变成降序似乎不是我们所擅长的，我们先转化为变成升序，这个是容易的只需要令 $p_i=n-p_i+1$ 即可。
我们先考虑暴力的做法，总结出来一些性质：
- 每个数显然只能移动一次，如果移动了两次还不如一步到位。
- 按照从大到小的顺序移动这些数比按照其他顺序移动更好。
因此我们可以得到 $\mathcal{O}(n2^n)$ 的暴力。
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摘要：## 概述
给你一个长度为 $n$ 的排列 $p$，定义集合：
$$
S_i=\{x\mid x\geq i\wedge \max_{k\in[i,x-1]}p_k
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摘要：# CF520E Pluses everywhere 题目分析
## 题目概述
给定一个 $n$ 位的十进制数，可以在数字之间加恰好 $k$ 个 `+`，得到一个式子，求每种方案的这个式子的和。
对 $10^9+7$ 取模，数据范围：$1\leq n\leq 10^5$。
## 分析
有点意思。
不难想到设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数填 $j$ 个加号的方案和，转移是简单的，考虑在不在前面放 `+` 即可。
但是这不是本题的思路。
像这种求所有的全局的方案，一般考虑每一个位置对于总共答案的贡献是多少。
我们考虑从前往后的第 $i$ 个位置，这个数填在当前分割出来的数的从前往后数第 $j$ 位，显然 $j\leq n - i + 1$。
那么对于当前他的数值方面的贡献为 $a_i\times 10^j$
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摘要：# AT_agc012_c [AGC012C] Tautonym Puzzle
## 题目描述
当字符串 $ x $ 满足以下条件时，称 $ x $ 为*好字符串*。
- 条件：$ x $ 可以表示为某个长度不少于 $ 1 $ 的字符串 $ y $ 重复两次所得的字符串 $ yy $。
例如，`aa`、`bubobubo` 等是好字符串，而空字符串、`a`、`abcabcabc`、`abba` 等都不是好字符串。
“ワシ”与猫头鹰设计了关于好字符串的谜题。请找出一个满足下列条件的字符串 $ s $。在本题的约束条件下，一定存在这样的字符串。
- $ 1\leq |s|\leq 200 $
- $ s $ 仅由用 $ 1 $ 至 $ 100 $ 的整数表示的 $ 100 $ 种字符构成。
- $ s $ 的 $ 2^{|s|} $ 个子序列中，成为好字符串的子序列有 $ N $ 个。
## 题目分析
这显然是一道构造题目，高质量的构造题目。
我们注意到填什么似乎并不重要，重要的是种类不同。
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摘要：首先特判 $d=0$ 的情况。
好，对于 $d\geq 1$ 的情况考虑转化。
注意到等差序列满足：
- 模 $d$ 同余。
- 值两两不同。
我们先把 $a$ 变为正数，然后全部除以 $d$，这肯定是正确的，你可以想一想。
那么我们就全部转化为了 $d=1$ 的情况。
考虑符合条件的序列 $[l,r]$ 满足什么：
- $\max_{i\in[l,r]}a_i-\min_{i\in[l,r]}a_i-1-(r-l+1-2)\leq k$。
- $[l,r]$ 内没有元素重复。
先考虑没有重复的情况：直接记录每个值之前出现最晚的位置。
考虑枚举 $r$，使得最左的 $l$ 满足条件，且 $l\in[x+1,r]$，其中 $x$ 表示 $a_r$ 上次出现的位置。
那么我们只需要使：$\max(l,r)-min(l,r)+l\leq k+r$ 即可。
那么我们如何维护这种东西呢？
注意 $\max,\min$ 用单调栈是好维护的。
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摘要：题目概述 小K的花园种着n颗竹子（竹子是一种茎部中空并且长得又高又快的热带植物）。此时，花园中第i颗竹子的高度是hi米，并且在每天结束的时候它生长ai米。 实际上，小K十分讨厌这些竹子。他曾经试图去砍光它们，但由于竹子的茎部太坚固而失败了，然而，小K制作了魔法锤使这些竹子只能在地面上生长。 由于魔法
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摘要：一个很妙的思路就是暴力。
考虑什么时候会对答案多 $1$。无非就是某一位 $+1$。
如果没有变化就是 $\times 10$。
我们发现这样做一定可以把所有的情况搞到。
本质上就是一个 01 bfs 求最短路。
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摘要：感觉很典，所以就记下来了。
我们考虑一个非常重要的事实：
- 田忌赛马对于每一个 $a_i$ 找的是第一个比他大的 $b_i$。
- 而字典序最大又需要前面的尽可能大。
这似乎产生了矛盾，让这道题目看起来有点难。
我们考虑不用 `multiset` 或者双指针求这个值，我们考虑分治的过程。
CDQ 分治是这样的：
>对于左区间算好其分内的答案，右区间算好其分内的答案。
>
>要合并区间的时候，左区间和右区间匹配就行了。
那么我们只需要记录每个区间剩下多少个 $a$ 中的元素和 $b$ 中的元素还没有匹配即可。
最精华的部分来了：由于我们对于每一个 $a_i$ 肯定进行二分答案是否可行，因为字典序本质上就有一个贪心的过程。我们考虑把这个思想搬到一个可支持修改的线段树上面即可。
在线段树上面这个是好维护的，于是这道题就做完了。
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摘要：我们括号匹配的经典做法就是把左括号看作 $+1$，右括号看作 $-1$，那么任意一个位置上的前缀和必须 $\geq0$，且最后一个位置的前缀和必须为 $0$。
这个可以引申出来一个定理：
> 对于第 $i$ 个左括号一定满足其位置 $pos\leq 2i-1$。
显然的，因为如果不满足就说明前面的右括号多了，也就是上一个前缀和出现了负数。
那么我们就转化为了处理左括号与这个的偏序关系，又因为字典序天然的贪心，所以说我们从前往后枚举能不能填左括号，如果能填就尽量填。
那怎么判断呢？我们只需要判断这个位置能不能找到偏序关系即可，而且与它数字相同的那一组也要满足。
这个思路很巧妙，位置用 `set` 维护就行了。
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摘要：题目概述 定义一个 test 为一个长 \(n+1\) 的序列且第 \(1\) 项是 \(n\)。 定义一个 multitest 为满足如下条件的序列： 后 \(n−1\) 项可以划分为 \(m\) 个 test。 第 \(1\) 项为 \(m\)。 给定一个序列 \(a\)，你需要对于 \(a\)
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摘要：题目概述 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3084。 有 \(n\) 个牛，拍了 \(m\) 张照片，拍了 \([a_i,b_i]\) 中的牛，现在牛群中有一些特殊的牛，而且每一张照片有且仅有一个特殊的牛。问最多有多少特殊的牛。 分析 一开始会想到跟区间
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摘要：题目概述 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P5366。 有编号为 \(1\) 到 \(n\) 的物品，小 \(X\) 忘记了自己选的什么物品，它只记得他选的部分的物品的编号最大公约数为 \(g\)，最小公倍数为 \(l\)。现在给你 \(q\) 个询问，每
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摘要：题目概述 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3643。 给你 \(n\) 个班级，每个班级要么不选数要么选的数在 \([a_i,b_i]\)，且选的数比编号比他小的班级选的数都要大，问有多少种方案（对 \((10^9+7)\) 取模）。 分析 感觉挺经典的
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摘要：题目概述 给你 \(n\) 个数 \(a_i\)。 求：\(\max_{i\ne j\ne k}(a_i+a_j)\bmod a_k\)。 分析 好题！ 我一开始看到是无从下手的。 但是细想一下，关键点在于 \(a_k\)，所以的说，枚举 \(a_k\) 是必不可少的。 然后我们令剩余的数全部对 \
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摘要：题目概述 合并石子。 其中 \(n\leq 4\times 10^4\)。 分析 贪心。 注意到我们如果要合并 \(a,b,c\) 为一个，那么： 先合并前两个有：\(2a+2b+c\)。 县合并后两个有：\(a+2b+2c\)。 我们发现跟 \(b\) 没有关系，只跟 \(a,c\) 有关系。 所
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摘要：题目概述 给你区间 \([L,R]\)，从中选出 \(N\) 个数的 \(\gcd\) 恰好为 \(k\) 的数量。 分析 一开始直接套路：设 \(f(d)\) 表示倍数，\(F(d)\) 恰好。 然后搞完之后发现后面很复杂。 你需要进行一些转化，设 \(f(d)\) 表示倍数的方案（但是要求不全相
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摘要：题目概述 这是一个 \(n\) 个点的无向图 \(G\)，然后给你 \(m\) 次操作。 给你每个点的点权 \(p_i\)，定义一条边 \((i,j)\) 的边权为 \(p_i+p_j\) 每个操作对应 \((x,l,r)\) 保证 \(x\notin [l,r]\)。 然后对于所有的 \(y\in
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摘要：题目概述 给出一棵树，边权为 \(1\)，现在让你求一个完全图的最大生成树的边权和，其中 \((i,j)\) 的边权为两个点在树上的路径。 动态加叶子节点。 分析 许多 trick 的题目。 考虑不加点怎么做，可以想到 Tree MST，用了点分治进行边优化，使得边的数量为 \(\mathcal{O
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摘要：题目概述 给定长度为 \(n\) 的 \(a,b\)，给定 \(m\) 个区间 \(l,r\)，如果 \(\sum_{i=l}^r a_i=\sum_{i=l}^r b_i\)，那么就令这个区间的 \(a_i=b_i\)。 问能否将所有的 \(a\) 变成 \(b\)。 分析 转化一下不难想到令 \
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摘要：题目概述 求有多少个 \((l,r)(l\leq r)\)，存在一组 \((i_1,i_2,\dots,i_m)\) 满足： 对于任意 \(j\in[2,m]\) 有 \(i_j>i_{j-1}\)。 \(i_1=l,i_m=r\)。 \(|a_{i_j}-a_{i_{j-1}}|\leq k\)。
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摘要：题目概述 Snuke 决定玩 \(N\) 张卡片和一个双端队列（即 deque）。每张卡片上显示一个从 \(1\) 到 \(N\) 的整数，而 deque 最初是空的。 Snuke 将按照从 \(1\) 到 \(N\) 的顺序，一次将卡片插入 deque 的开头或末尾。然后，他将执行以下操作 \(N
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摘要：题目概述 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4198。 给出一个 \(x\) 轴长度为 \(n\)，\(y\) 轴长度为 \(10^9\) 的二维平面。 一共有 \(n\) 天，第 \(i\) 天令坐标为 \(x_i\) 的线段变长为 \(y_i\)（屋顶
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摘要：题目概述 给一个含有 \(n\) 个点和 \(m\) 条边的无向连通图，求恰好有 \(d\) 个叶子的生成树的个数。 数据范围：\(1\leq d\leq n\leq 10,m\leq \frac{n(n-1)}{2}\)。 分析 注意到 \(n\leq 10\)，我们可能会有 \(2^n\) 或者
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摘要：题目概述 你需要确定 \(n\) 个数，每个数形如 \(\frac{1}{2^x}(x\geq 0)\)，其中 \(x\) 是非负整数，求他们的和为 \(k\) 的方案。 数据范围：\(1\leq k\leq n\leq 3000\)。 分析 真的妙！ 我们假设最后的结果为 \(\{\frac{1}
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摘要：题目概述 给定一个整数数组 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)。 如果一个整数数组 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 满足对于每个 \(i\)（\(1 \leq i \leq n\)），至少满足以下两个条件之一： \(b_i = a_i\)，或者 \(b_i = \
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摘要：题目概述 给你一棵树，定义一条路径 \(a\rightarrow b\) 表示从 \(a\) 到 \(b\) 的最短路。 这是一颗 \(n\) 个点的树。 现在有 \(q\) 个工程方案，他们互相独立并且修建一条长度为 \(l\) 的路（你自己选，不能重边）。 对于每个工程方案你需要使 \(1\ri
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摘要：题目概述 给出 \(n\) 个 \(a_i,b_i\)，其中 \(a_i\) 代表 \(0\) 的个数，\(b_i\) 代表 \(1\) 的个数，让你求对于所有的 \((i,j)(i<j)\) 这些 \(0,1\) 组合起来的本质不同的个数之和。 分析 思维好题！ 首先我们不难想到卡特兰数的方法去求
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摘要：题目概述 在这个编辑器中，可以执行如下几种操作来输入某个字符串，设 \(X\) 为屏幕上的字符串，\(Y\) 为剪切板中的字符串，初始均为空串： 操作 A：输入字符 \(c\)，即将 \(X\) 更新为 \(X+c\)。 操作 B：选择所有字符并剪切，即将 \(Y\) 更新为 \(X\)，并将 \(
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摘要：题目概述 定义好图当且仅当 \(1\) 和 \(n\) 不连通而且没有重边以及自环。 现在给出 \(n\) 个点和 \(m\) 条无向边，然后小 \(A\) 先手，可以选择两个点进行连边，小 \(B\) 后手。 请问先手是否有必胜策略，输当且仅当无法连边使得他是好图。 分析 博弈论好题。 一般先考虑
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摘要：题目概述 给定一个数列 $ A = (A_1, \ldots, A_N) $。你可以对 $ A $ 进行以下两种操作，顺序和次数不限： 交换操作：设操作前 $ A $ 的长度为 $ K $。选择满足 $ 1 \leq i \leq K - 1 $ 的整数 $ i $，交换 $ A $ 的第 $ i
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摘要：感觉是经典题目。 题目概述 给出一个有 \(n\) 个点并且其中有 \(k\) 个关键点的无根树，要求从 \(s\) 走到 \(t\) 途中必须包含这 \(k\) 个关键点，求最短路径。 分析 考虑以一个关键点作为根。 由于这道题目 \(s,t\) 是会变的，所以我们把注意力放在这几个关键点上面。
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摘要：应该比CSP-S还简单。 T1 分讨+贪心即可。 T2 简单题，贪心 T3 原题，做过，USACO的题目，大概是只吃 \([l,r]\) 的，然后留一个 \(k\) 最后给一个牛吃。题单里面有。 T4 好玩。 我们假设我们并没有看到数据随机。 题目概述 给定一个有 \(n\) 个点的树，定义 \(F
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摘要：题目概述 给定 \(n,m\)，求有多少个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 满足 每个元素在 \([1,m]\)。 存在一种删除方式，使得整个序列得以被删除。删除方式：选择一个长度不小于 \(2\) 的区间且这两端数字相同即可删除。 数据范围：\(1\leq n\leq 3000,1\leq
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