摘要：SP15637 GNYR04H - Mr Youngs Picture Permutations 解析 [题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/SP15637) ## 分析题目性质 大意就是给 $k$ 排然后每个数列单调，每个横列单调，求满足这样排列的方案数。 我们发现：与其为每个位置分配某个学生不如考虑**将每个学生分给某个位置**。 ## 思路 根据以上，不妨设：$f_{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5}$ 分别代表第 $i$ 排现在人数为 $a_i$ 的方案数。 那么应该满足以下条件： - $a_i < N_i$ - $i=1$ 或者 $a_{i-1} 阅读全文

摘要：# P10954 LCIS 题目解析 [题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P10954) ## 思路 前置：[弱化版](https://www.luogu.com.cn/problem/CF10D) 没什么好说的，设 $f_{i,j}$ 表示 $a$ 的前 $i$ 个并且结尾为 $b_j$ 的最长上升公共子序列。 定义 $a_0=b_0=-\infty.$ 转移： - $a_i=b_j,f_{i,j}=\max_{k\in [0,j-1]\text{ 且 }b_k < a_i} f_{i-1,k}.$ - 否则，$f_{i,j}=f_{i-1,j}.$ 我们发现直接过掉了，但这样的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的。 考虑免去一些重复的取 $\max$ 值。 阅读全文

摘要：# P1779 魔鬼杀手 题解&&思路 [题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P1779)。 ## 分析题目性质 我们发现假如有状态表示 $M$ 个方案选或不选，那么这个状态有唯一确定的结果，即**结果不会随着施法的顺序而改变。** 考虑 $dp.$ 我们从题目出发，发现每个方案有单个攻击或者集体攻击，想一想从这个方面考虑。 又由于每一个方案是可以选择无限次的，不难想到 `完全背包`。 阅读全文

摘要：P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G 题目分析 [题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P2893) ## 分析题目性质 不难解析出题目中的序列 $B$ 有“单调不下降”和“单调不上升”两种情况，不难想到分两种情况讨论答案即可。 有一个性质： > 在满足答案最小化的情况，一定存在一种方案使得 $B$ 中的数字一定在 $A$ 中。 不难证明其方案是不劣于不在 $A$ 中的数的。 而根据性质，$j$ 可以用离散化解决，也可以设为 $A_j$。 因此，总时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$ 的。 **注意，因为要求单调，所以一定要对离散过的 $A$ 进行排序，否则就有可能不单调。** 不难完成对 $cost(j+1,i-1)$ 的计算，即只需要计算什么时候前面与 $A_j$ 相同，后面与 $A_i$ 相同，使答案最小。 扫一遍即可，总时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$，无法通过本题。 阅读全文

摘要：观察题目，可以发现的是一个凸多边形一定满足： - 每一行的左端点列号先递减后递增。 - 每一行的右端点列号先递增后递减。 根据上述，我们需要关注以下的信息： - 当前的左端点。 - 当前的右端点。 - 这一行以左端点开始连续选多少个。 - 当前左端点列号需要满足的单调性。 - 当前右端点列号需要满足的单调性。 显然的，右端点、左端点和选的格子数知道两个就可确定第三个的值。 因此我们设：$f_{i,j,l,r,0/1,0/1}$ 表示前 $i$ 行已经处理完毕加上第 $i$ 行有 $j$ 个格子，第 $i$ 行选择第 $l$ 到 $r$ 的格子，且左端点、右端点列号满足现在该有的单调性的最大价值（其中 $0$ 表示递减，$1$ 表示递增）。 阅读全文

摘要：[四倍经验](https://www.luogu.com.cn/paste/6zox5x4a) 目前这道题是最基础的，四倍经验里面的 $T_2$ 与此一样，$T_3$ 有点卡空间，但是还好，方案用 `short` 或者 `char` 即可优化，$T_4$ 一样，有些卡常，问题不大。 ## 分析题目性质 没有什么十分有用的性质。 ## 思路 注意到：分配干活的只有 $3$ 个人。 看到这么小的数很容易想到三维或者四维 $dp$ 或者是 状态压缩 $dp$，很显然是前者。 设 $f_{i,a_1,a_2,a_3}$ 表示第 $i$ 个请求后，三个人的位置分别为 $a_1,a_2,a_3$ 的最小成本。 转移是简单的，不过多赘述。 阅读全文

摘要：# 整数划分 题目分析以及衍生出来的一系列做法 推荐看[背包计数问题的多项式优化](https://www.cnblogs.com/maple276/p/18342090)。 ## 题目概述 将 $n$ 分为若干个**不同**整数的和，问有多少种方案。 ## 分析题目性质 想一想，注意到是不同整数的和，也就是说我们分成的 $k$ 部满足： $$ k(k+1)\leq 2n $$ 约等一下，$k\leq \sqrt{2n}+1$，即 $k_{\max}=\sqrt{2n}+1.$ 因此可以考虑 $\mathcal{O}(nk)$ 算法。 阅读全文

摘要：# CF140E New Year Garland 题目分析 挺不错的动态规划题目。 ## 思路 一看到题目便可以知道每一层和层与层之间是要分开来算的（这种类似的动态规划还有很多）。 我们先看看层与层之间的。 ### 层与层 题目要求：**相邻的两层的小球颜色集合不相同**。 那么区分相邻两层小球颜色集合不同可以通过**数量不同来区分**，然后再进行讨论即可。 根据上述，显然地，设 $f_{i,j}$ 表示已经完成前 $i$ 层，到了第 $i$ 层小球颜色集合的数量为 $j$ 的总方案。 我们先抛开重不重复不谈，那么它的总方案肯定是从前面的那一层转移过来，即 $f_{i-1,k}$，其中 $k\in [1,l_{i-1}]$。 那么是不是就是 $$ f_{i,j}=\sum_{k=1}^{l_{i-1}}f_{i-1,k} $$ 呢？显然不是，这里的 $j$ 是数量，并不是选了什么，因此还要有 $C_m^j$ 来确定选 $j$ 种颜色球的方案（这是对于当前 $i$ 的）。 阅读全文