合集-动态规划
摘要：SP15637 GNYR04H - Mr Youngs Picture Permutations 解析
[题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/SP15637)
## 分析题目性质
大意就是给 $k$ 排然后每个数列单调，每个横列单调，求满足这样排列的方案数。
我们发现：与其为每个位置分配某个学生不如考虑**将每个学生分给某个位置**。
## 思路
根据以上，不妨设：$f_{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5}$ 分别代表第 $i$ 排现在人数为 $a_i$ 的方案数。
那么应该满足以下条件：
- $a_i < N_i$
- $i=1$ 或者 $a_{i-1}
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摘要：# P10954 LCIS 题目解析
[题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P10954)
## 思路
前置：[弱化版](https://www.luogu.com.cn/problem/CF10D)
没什么好说的，设 $f_{i,j}$ 表示 $a$ 的前 $i$ 个并且结尾为 $b_j$ 的最长上升公共子序列。
定义 $a_0=b_0=-\infty.$
转移：
- $a_i=b_j,f_{i,j}=\max_{k\in [0,j-1]\text{ 且 }b_k < a_i} f_{i-1,k}.$
- 否则，$f_{i,j}=f_{i-1,j}.$
我们发现直接过掉了，但这样的时间复杂度是 $\mathcal{O}(n^3)$ 的。
考虑免去一些重复的取 $\max$ 值。
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摘要：# P1779 魔鬼杀手 题解&&思路
[题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P1779)。
## 分析题目性质
我们发现假如有状态表示 $M$ 个方案选或不选，那么这个状态有唯一确定的结果，即**结果不会随着施法的顺序而改变。**
考虑 $dp.$
我们从题目出发，发现每个方案有单个攻击或者集体攻击，想一想从这个方面考虑。
又由于每一个方案是可以选择无限次的，不难想到 `完全背包`。
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摘要：P2893 [USACO08FEB] Making the Grade G 题目分析
[题目链接](https://www.luogu.com.cn/problem/P2893)
## 分析题目性质
不难解析出题目中的序列 $B$ 有“单调不下降”和“单调不上升”两种情况，不难想到分两种情况讨论答案即可。
有一个性质：
> 在满足答案最小化的情况，一定存在一种方案使得 $B$ 中的数字一定在 $A$ 中。
不难证明其方案是不劣于不在 $A$ 中的数的。
而根据性质，$j$ 可以用离散化解决，也可以设为 $A_j$。
因此，总时间复杂度 $\mathcal{O}(n^2)$ 的。
**注意，因为要求单调，所以一定要对离散过的 $A$ 进行排序，否则就有可能不单调。**
不难完成对 $cost(j+1,i-1)$ 的计算，即只需要计算什么时候前面与 $A_j$ 相同，后面与 $A_i$ 相同，使答案最小。
扫一遍即可，总时间复杂度 $\mathcal{O}(n^3)$，无法通过本题。
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摘要：观察题目，可以发现的是一个凸多边形一定满足：
- 每一行的左端点列号先递减后递增。
- 每一行的右端点列号先递增后递减。
根据上述，我们需要关注以下的信息：
- 当前的左端点。
- 当前的右端点。
- 这一行以左端点开始连续选多少个。
- 当前左端点列号需要满足的单调性。
- 当前右端点列号需要满足的单调性。
显然的，右端点、左端点和选的格子数知道两个就可确定第三个的值。
因此我们设：$f_{i,j,l,r,0/1,0/1}$ 表示前 $i$ 行已经处理完毕加上第 $i$ 行有 $j$ 个格子，第 $i$ 行选择第 $l$ 到 $r$ 的格子，且左端点、右端点列号满足现在该有的单调性的最大价值（其中 $0$ 表示递减，$1$ 表示递增）。
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摘要：[四倍经验](https://www.luogu.com.cn/paste/6zox5x4a)
目前这道题是最基础的，四倍经验里面的 $T_2$ 与此一样，$T_3$ 有点卡空间，但是还好，方案用 `short` 或者 `char` 即可优化，$T_4$ 一样，有些卡常，问题不大。
## 分析题目性质
没有什么十分有用的性质。
## 思路
注意到：分配干活的只有 $3$ 个人。
看到这么小的数很容易想到三维或者四维 $dp$ 或者是 状态压缩 $dp$，很显然是前者。
设 $f_{i,a_1,a_2,a_3}$ 表示第 $i$ 个请求后，三个人的位置分别为 $a_1,a_2,a_3$ 的最小成本。
转移是简单的，不过多赘述。
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摘要：# 整数划分 题目分析以及衍生出来的一系列做法
推荐看[背包计数问题的多项式优化](https://www.cnblogs.com/maple276/p/18342090)。
## 题目概述
将 $n$ 分为若干个**不同**整数的和，问有多少种方案。
## 分析题目性质
想一想，注意到是不同整数的和，也就是说我们分成的 $k$ 部满足：
$$
k(k+1)\leq 2n
$$
约等一下，$k\leq \sqrt{2n}+1$，即 $k_{\max}=\sqrt{2n}+1.$
因此可以考虑 $\mathcal{O}(nk)$ 算法。
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摘要：# CF140E New Year Garland 题目分析
挺不错的动态规划题目。
## 思路
一看到题目便可以知道每一层和层与层之间是要分开来算的（这种类似的动态规划还有很多）。
我们先看看层与层之间的。
### 层与层
题目要求：**相邻的两层的小球颜色集合不相同**。
那么区分相邻两层小球颜色集合不同可以通过**数量不同来区分**，然后再进行讨论即可。
根据上述，显然地，设 $f_{i,j}$ 表示已经完成前 $i$ 层，到了第 $i$ 层小球颜色集合的数量为 $j$ 的总方案。
我们先抛开重不重复不谈，那么它的总方案肯定是从前面的那一层转移过来，即 $f_{i-1,k}$，其中 $k\in [1,l_{i-1}]$。
那么是不是就是
$$
f_{i,j}=\sum_{k=1}^{l_{i-1}}f_{i-1,k}
$$
呢？显然不是，这里的 $j$ 是数量，并不是选了什么，因此还要有 $C_m^j$ 来确定选 $j$ 种颜色球的方案（这是对于当前 $i$ 的）。
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摘要：## 题目概述
给你一个排列 $p$，共有 $n$ 个元素，你可以选择两个数 $i,j$，然后将 $p_i$ 移动到位置 $j$，这个过程需要花费 $i+j$ 的代价，问你通过这些操作过后所能使 $p$ 变为降序的最小代价。
## 思路
变成降序似乎不是我们所擅长的，我们先转化为变成升序，这个是容易的只需要令 $p_i=n-p_i+1$ 即可。
我们先考虑暴力的做法，总结出来一些性质：
- 每个数显然只能移动一次，如果移动了两次还不如一步到位。
- 按照从大到小的顺序移动这些数比按照其他顺序移动更好。
因此我们可以得到 $\mathcal{O}(n2^n)$ 的暴力。
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摘要：考虑区间 $dp$。
设 $f_{i,j}$ 表示处理 $[i,j]$ 最小的总惩罚值。
分类：
- 产品 $i$ 第一个出栈，则有 $f_{i,j}=t_i\times sd_{i,j}+f_{i+1,j}$
- 产品 $i$ 第 $k$ 个出栈，则有 $f_{i,j}=f_{i+1,k}+f_{k + 1,j}+st_{i,k}\times(d_i+sd_{k+1,j})$。
第二种情况第 $k$ 个出栈，那肯定 $i+1$ 到 $k$ 都已经出完栈了，所以后这些贡献。
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摘要：思路跟 [P5770 [JSOI2016] 无界单词](https://www.luogu.com.cn/problem/P5770) 类似，都是一位一位确定的。
我们考虑状态压缩 $dp$。
首先我们枚举第 $i$ 个位置，一遍一遍得出其所要坐的人。
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摘要：## 题目分析
注意到 $a_i\in[1,3]$，故设 $f_{i,j,k}$ 表示现在碗里只有 $1$ 个的有 $i$ 碗，只有 $2$ 个的有 $j$ 碗，只有 $3$ 个的有 $k$ 碗。
我们发现从 $f_{x,y,z}$ 推到 $f_{0,0,0}$ 是复杂的。
不妨将整个过程反过来变成生产寿司从 $f_{0,0,0}$ 推到 $f_{x,y,z}$ 即可。
那么我们有转移：
$$
f_{i,j,k}=\frac{n-i-j-k}{n}(f_{i,j,k}+1)+\frac{i}{n}(f_{i-1,j,k}+1)+\frac{j}{n}(f_{i+1,j-1,k}+1)+\frac{k}{n}(f_{i,j + 1,k-1}+1)
$$
化简有：
$$
(i+j+k)f_{i,j,k}=\frac{i}{n}f_{i-1,j,k}+\frac{j}{n}f_{i+1,j-1,k}+\frac{k}{n}f_{i,j+1,k-1}+n
$$
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摘要：一个类似于 `CSP2025-S` 中第三题的动态规划。
倒着做。
设 $f_i$ 表示以 $A_i$ 为开头的子序列不在 $A_{i\dots |A|}$ 出现的最短长度。
然后从后面挑一个转移即可。
但是我们发现这样子是 $\mathcal{O}(n^2)$ 的。
但是我们可供转移的字符集最多只有 $26$ 个。
于是优化状态：设 $f_i$ 表示以字符 $i$ 为开头的子序列不在当前 $A$ 的后缀当中的最短长度。
$$
f_i=1+\min_x f_{p_x}
$$
然后就做完了。
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摘要：题目概述 有 \(n\) 个位置有 \(m\) 个水滴，你在 \(0\) 的位置，每过一个单位，有水滴的地方个数都少 \(1\)。 其中：\(1\leq n\leq 300,-10^9\leq x_i\leq 10^9\)。 分析 感觉很典。 首先先对 \(x\)（带上 \(0\)）排序。 我们考虑
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摘要：题目概述 定义一个 test 为一个长 \(n+1\) 的序列且第 \(1\) 项是 \(n\)。 定义一个 multitest 为满足如下条件的序列： 后 \(n−1\) 项可以划分为 \(m\) 个 test。 第 \(1\) 项为 \(m\)。 给定一个序列 \(a\)，你需要对于 \(a\)
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摘要：题目链接：P1912 [NOI2009] 诗人小G 题目概述 给你几个字符串，你可以按照给定的顺序任意拼接（你可以分组），但是拼接的时候中间要打空格，设这个当前的拼接长度为 \(sum\)，那么代价为 \(|sum-L|^P\)，求最小的代价并输出方案。 分析 Luogu题解告诉我们一个快速判断决策
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摘要：题目概述 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3084。 有 \(n\) 个牛，拍了 \(m\) 张照片，拍了 \([a_i,b_i]\) 中的牛，现在牛群中有一些特殊的牛，而且每一张照片有且仅有一个特殊的牛。问最多有多少特殊的牛。 分析 一开始会想到跟区间
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摘要：题目概述 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2605。 有 \(n\) 个村庄，你需要建立不超过 \(k\) 个基站，每一户人家都有参数 \(d_i,s_i,w_i,c_i\) 分别表示距离第一户人家的距离、在不超过 \(s_i\) 的地方有基站才能覆盖此
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摘要：题目概述 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3643。 给你 \(n\) 个班级，每个班级要么不选数要么选的数在 \([a_i,b_i]\)，且选的数比编号比他小的班级选的数都要大，问有多少种方案（对 \((10^9+7)\) 取模）。 分析 感觉挺经典的
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摘要：题目概述 Snuke 决定玩 \(N\) 张卡片和一个双端队列（即 deque）。每张卡片上显示一个从 \(1\) 到 \(N\) 的整数，而 deque 最初是空的。 Snuke 将按照从 \(1\) 到 \(N\) 的顺序，一次将卡片插入 deque 的开头或末尾。然后，他将执行以下操作 \(N
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摘要：题目概述 给一个含有 \(n\) 个点和 \(m\) 条边的无向连通图，求恰好有 \(d\) 个叶子的生成树的个数。 数据范围：\(1\leq d\leq n\leq 10,m\leq \frac{n(n-1)}{2}\)。 分析 注意到 \(n\leq 10\)，我们可能会有 \(2^n\) 或者
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摘要：题目概述 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/CF840C。 给你 \(n\) 给数，将他们排列成一个序列并满足相邻两项 \(a_i,a_{i+1}\) 相乘不为平方数。问方案。 分析 我只说明一种解法，其他类的解法总结见：https://www.luogu.
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摘要：题目概述 你需要确定 \(n\) 个数，每个数形如 \(\frac{1}{2^x}(x\geq 0)\)，其中 \(x\) 是非负整数，求他们的和为 \(k\) 的方案。 数据范围：\(1\leq k\leq n\leq 3000\)。 分析 真的妙！ 我们假设最后的结果为 \(\{\frac{1}
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摘要：题目概述 给定一个整数数组 \(b_1, b_2, \ldots, b_n\)。 如果一个整数数组 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) 满足对于每个 \(i\)（\(1 \leq i \leq n\)），至少满足以下两个条件之一： \(b_i = a_i\)，或者 \(b_i = \
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摘要：题目概述 给你一颗树并且每个点上面有点权，你可以进行一次操作：选择一个点将他自己和与他距离为 \(1\) 的点的点权全部异或 \(1\)。 求最少多少次操作使得每个点的点权都是 \(0\)。 分析 遇到这种题目，一般都是先考虑贪心或者基本算法。 我们考虑从下往上依次使其子树变成 \(0\)，我们发现
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摘要：题目概述 在这个编辑器中，可以执行如下几种操作来输入某个字符串，设 \(X\) 为屏幕上的字符串，\(Y\) 为剪切板中的字符串，初始均为空串： 操作 A：输入字符 \(c\)，即将 \(X\) 更新为 \(X+c\)。 操作 B：选择所有字符并剪切，即将 \(Y\) 更新为 \(X\)，并将 \(
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摘要：题目概述 给定一个数列 $ A = (A_1, \ldots, A_N) $。你可以对 $ A $ 进行以下两种操作，顺序和次数不限： 交换操作：设操作前 $ A $ 的长度为 $ K $。选择满足 $ 1 \leq i \leq K - 1 $ 的整数 $ i $，交换 $ A $ 的第 $ i
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摘要：题目概述 给定字符串 \(A\) 和字符串 \(B\)，定一次操作为将 \(A\) 一个区间的字符全部换成同一个，问最小操作让 \(A\rightarrow B\)。 分析 一看完题目感觉似曾相识，好像有道题目类似吧。 就这道：P4170 [CQOI2007] 涂色。 这道一开始 \(A\) 是全部
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摘要：题目概述 你需要将一个长度为 \(n\) 的序列 \(A\) 分成若干段，满足每段中数字之和 \(\leq m\)，每段将这一段的最大值作为他的贡献，求他们贡献之和的最小值。 分析 蓝书好题！这是一道例题。 不难设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 个数分成若干段所得到的最小答案。 显然转移有：
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摘要：题目概述 给定 \(n,m\)，求有多少个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) 满足 每个元素在 \([1,m]\)。 存在一种删除方式，使得整个序列得以被删除。删除方式：选择一个长度不小于 \(2\) 的区间且这两端数字相同即可删除。 数据范围：\(1\leq n\leq 3000,1\leq
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摘要：题目概述 给定 \(n\)，连边方式 \(i\) 连向 \(j\) 满足 \(1\leq i<j\leq n\)。 求对于 \(k\in[0,n]\)，恰好有 \(k\) 个点 \(x\) 满足 \(1\rightarrow x\rightarrow n\)。 数据范围：\(1\leq n\leq
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