矩阵乘法

矩阵乘法

矩阵计算

加减法

要求：两个矩阵的长宽相同。

结果：每一个位置相加。

乘法

常数乘以矩阵

一个数 \(x\) 乘以矩阵 \(a\)，那么等同于 \(a\) 中的每一个元素乘以 \(x.\)

矩阵乘以矩阵

要求：矩阵 \(a\) 的列和矩阵 \(b\) 行相同，即 \(a\) 的大小为 \(n,m\)，则 \(b\) 的大小为 \(m,u.\)

计算公式：\(c_{i,j}=\sum_{k=1}^m a_{i,k}\times b_{k,j}.\)

不难得到以下代码：

for (int i = 1;i <= n;i ++)// a行
   	for (int j = 1;j <= u;j ++)// b列
        for (int k = 1;k <= m;k ++)// a列，b行
            c[i][j] = a[i][k] * b[k][j];

尽管这样的时间复杂度是 \(\mathcal{O}(n^3)\) 的，但是有更快的Strassen算法的改进复杂度，但对比赛作用不大（除了卡常）。

根据定义可以推出：结合律；分配律；但是没有交换律。

广义矩阵乘法

这是一个十分重要的内容，可以用于加速 \(dp.\)

但是其也是 动态 dp 的一种，所以放在 \(dp\) 内容，链接：动态dp。