线性代数与空间解析几何入门

本文的目的是将三位立体几何问题机械化形式化，降低对空间想象力的要求，进而引入积和式，并用其解决带限制的排列问题，然后从积和式引入行列式，并对其性质进行对比，最后运用矩阵解决线性方程组求解，旋转，以及一般的二次曲线

本文要介绍的: 平面的法向量，平面的点法式和一般式方程，三维直线的方程，二维和三维叉乘，叉乘的几何意义，向量的混合积，积和式，行列式，矩阵，叉乘的行列式，积和式和行列式的性质对比，矩阵的初等变换，矩阵乘法，高斯消去法

平面的法向量

我们知道，两个不共线的三维向量\(a = ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } ),b = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } )\)，可以唯一确定一组互相平行的平面系，它们可以共用一个法向量，传统求法向量的方法是列出三元一次方程组，再选出一个合适的自由元，从而求出。这里提供一个简便方法，把每个法向量坐标分别横着写两遍，每个法向量占一行，
\(\left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } y _ { 1 } z _ { 1 } x _ { 1 } y _ { 1 } z _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } y _ { 2 } z _ { 2 } x _ { 2 } y _ { 2 } z _ { 2 } } \end{array} \right]\)

然后去掉最左边 最右边的一列，得
\(\left[ \begin{array} { l } { y _ { 1 } z _ { 1 } x _ { 1 } y _ { 1 }} \\ { y _ { 2 } z _ { 2 } x _ { 2 }y _ { 2 } } \end{array} \right]\)
然后法向量的坐标为\((y_1z_2-y_2z_1,z_1x_2-z_2x_1,x_1y_2-x_2y_1)\)
注意到x坐标上只涉及y z，y z坐标同理，这体现了对称性。

平面方程

我们知道，一个点和一个法向量\((a,b,c)\)就能够唯一确定一个平面，而该平面上任何一点\(( x , y , z )\)与\(A(x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 })\)形成的向量与法向量垂直，也就可以写成
\(a ( x - x _ { 1 } ) + b ( y - y _ { 1 } ) + c ( z - z _ { 1 } ) = 0\)
这就是平面的点法式方程

而我们又知道不在同一直线三点唯一确定一个平面，因此如果平面上三点\(( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 }),( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } ),( x _ { 3 } , y _ { 3 } , z _ {3} )\)已知，根据点法式方程的经验设平面方程为\(a x + b y + c z + d = 0\)，虽然看起来有四个未知数，但如果等式确实有意义的话那么等式左边必然有至少一项未知数的系数不为0，通过代入尝试的过程可以找到它，除掉它可以减元为三元，代入坐标可以得到三元一次方程组，三个方程三个未知数，可以得到唯一解，这样就求出了平面方程。这是平面的一般式方程

实际上，给出一般式平面方程后可以通过构造点法式方程中x1 y1 z1的值，将平面方程化为点法式方程。而一般式平面方程中的一组a b c实际是平面的一个法向量。

两个平面方程联立可以求得三维直线方程，当然也可能无解

三维直线方程

在空间中，仍然有两点确定一条直线，但是我们要先弄清直线方程的结构。考虑直线也可以由方向向量和一个点唯一确定，设其方向向量为\(( a , b , c )\)，这个点为\(( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } )\)，对于该直线上的任意一点与该点构成的向量都与直线的方向向量共线

因此有
\(\{ \begin{array} { l } { x - x _ { 1 } = k a } \\ { y - y _ { 1 } = k b } \\ { z - z _ { 1 } = k c } \end{array}\)

这是空间直线的参数方程

如果消去k，那么就得到了空间直线方程，注意到这是由两个方程组合而成的，实际上，单独看每一个方程，都是平面方程，如果两个平面不平行，那么它们一定存在交线，联立得到的方程组表示的解集就是交线。

叉乘

叉乘是\(a \times b = | a | | b | \sin \theta\)

先来看二维叉乘，事实上它并没有实际存在，只是从三维叉乘延伸出的便于计算的工具，二维叉乘只有大小，没有方向，其几何意义是a b向量围成的平行四边形面积。

它可以用来判断两个向量是否共线，或者说是判断两条直线是否斜率相等，二维叉乘等于0，就说明两个向量共线。