从2-3-4树谈到Red-Black Tree（红黑树）

从2-3-4树谈到Red-Black Tree（红黑树）

 

译者：July。

出处：http://blog.csdn.net/v_JULY_v 。

 

    在上一篇文章--从B树、B+树、B*树谈到R 树里已提到2-3-4树，那么本文，咱们就从2-3-4树开始谈起，然后谈至红黑树。因为理解了2-3-4树，红黑树也就没有任何问题了。同时，虽然红黑树在本blog已有过非常详尽的阐述。但个人此后对红黑树又有了不少新的认识，雨打风吹去，已体味到另一番意境。

    Ok，本文大部分内容翻译自此文档：Left-Leaning Red-Black Trees, Dagstuhl Workshop on Data Structures, Wadern, Germany, February, 2008.这个文档本人在之前介绍红黑树的文章里早已推荐过。但我相信，如果不真正完全摆在读者面前，他们是不能最大限度的体会到一个东西的价值与精彩的。

    So，旅程开始，祝旅途愉快。

第一节、2-3-4树

    2-3-4 树在计算机科学中是阶为 4 的B树。根据维基百科上的介绍：大体上同B树一样，2-3-4 树是可以用做字典的一种自平衡数据结构。它可以在O（log n）时间内查找、插入和删除，这里的 n 是树中元素的数目。2-3-4 树在多数编程语言中实现起来相对困难，因为在树上的操作涉及大量的特殊情况。红黑树实现起来更简单一些，所以可以用它来替代（红黑树稍后介绍）。以下就是一棵2-3-4树：

 

    2-3-4 树把数据存储在叫做元素的单独单元中。那么请问，到底什么是2-3-4树呢?顾名思义，就是有2个子女，3个子女，或4个子女的结点，这些含有2、3、或4个子女的结点就构成了我们的2-3-4树。所以，它们组合成结点，每个结点都是下列之一：
2-节点，就是说，它包含 1 个元素和 2 个儿子，
3-节点，就是说，它包含 2 个元素和 3 个儿子，
4-节点，就是说，它包含 3 个元素和 4 个儿子 。

 

            
                 2-结点
       
                 3-结点

                4-结点

     每个儿子都是（可能为空）一个子 2-3-4 树。根节点是其中没有父亲的那个节点；它在遍历树的时候充当起点，因为从它可以到达所有的其他节点。叶子节点是有至少一个空儿子的节点。同B树一样，2-3-4 树是有序的：每个元素必须大于或等于它左边的和它的左子树中的任何其他元素。每个儿子因此成为了由它的左和右元素界定的一个区间。如下图所示（你可以看到，图中这棵2-3-4树是由2-结点，3-结点，4-结点元素组成的）： 

    2-3-4 树是紅黑树结构的一种等同，这意味着它们是等价的数据结构。换句话说，对于每个 2-3-4 树，都存在着至少一个数据元素是相同次序的红黑树。在 2-3-4 树上的插入和删除操作也等价于在红黑树中的颜色翻转和旋转。这使得它成为理解红黑树背后的逻辑的重要工具（还是如此，红黑树稍后介绍，路得一步一步来）。

1.1、2-3-4树的查找

    2-3-4树中查找结点，怎么查找呢?分为以下几个步骤：

1、把要查找的结点与根结点相比较

2、根据左小右大的原则，寻找含有要查找结点的区间

3、若找到了，则直接返回该结点，否则，在其子女中继续递归寻找。

如下图所示，在下面这棵2-3-4树中寻找L结点：

1.2、2-3-4树的插入

    插入某个结点之前，一般我们先在2-3-4树中寻找是否存在该插入结点（若存在，当然也就没有必要再插入了），如果树中不存在该结点，则执行插入操作。

1.2.1、插入形式一：3-结点元素中插入结点

    如下图所示，插入X结点，首先在树中查找是否存在X结点，

没有找到，则在含有Y Z的结点元素插入X：

1.2.2、插入形式二：

    以下插入H结点，在F G J区间上发现H没有找到后，

且F G J区间上已经没有空间来插入H结点了，这个时候怎么办呢?：

当没有空间执行插入操作的时候，咱们当然得寻找空间来执行插入。怎么寻找呢?看下图：

    由上图，我们发现，H在区间F G J 上没有空间执行插入的时候，我们首先参试着让G元素上移至C E区间，组成C E G根结点，然后分裂F G区间，F和G各自成为独立的元素。当我们发现，H依然不能作为J的子女进行插入时，我们想到了一种折中的办法，这种办法就是，如下图所示，H插入到J元素旁，成为H J区间，F元素不作变动：

    所以，当发现没有空间可执行插入结点的情况时，我们作如下对策：

1、分裂父母结点

2、然后再插入结点

上述的第1点具体怎么分裂呢?分裂的两种情况如下图所示：

 

    下面再具体分析下上述两种分裂情况：

分裂情况1、如下图所示D-K Q W，区间K Q W分裂，Q上移与原根结点D组成新的根结点区间D Q，K和W各自分裂成独自区间，D-K Q W最终分裂成D Q-K-W：

    分裂情况2、如下图所示D H-K Q W分裂，K Q W区间中的Q元素上移与D H组成根元素区间D H Q，K和W 分裂，最终D H-K Q W分裂成D H Q-K-W：

 

    下图是逐步在2-3-4树中依次插入元素A、S、E、R、C、D、I。从中你可以看到

1、当插入元素R时，A E S区间分裂，E成为新的根元素，而要插入的R与S移至一起成为E的右儿子。

2、当插入C、D、I时，都是直接找到相对应的区间，各自插入。不必啰嗦，下图已经很形象了。

 

    但下面，继续在上述的A、S、E、R、C、D、I插入操作的基础上之后，再依次插入N、B、X各元素时，情况，就比较复杂了，但下图还是很清晰的表明了各种插入操作及相关元素的调整情况，在此不赘述：

下图所示的是在2-3-4树中插入结点的insert代码：

    到此，插入情况已经阐述完，删除情况略过。接下来，咱们来分析下2-3-4树的平衡情况。

1.3、2-3-4树的平衡

    2-3-4树的高度为：

1、最坏情况，logn，树中全部都是2结点元素（即如第一节所述的全都是包含一个元素和2个儿子的结点。如此图所示，树中全部都是这样的结点：

2、最好情况，log4N=1/2logN，树中全部都是4结点元素（即如第一节所述的全都是包含 3 个元素和 4 个儿子 的结点，如此图所示，树中全部都是这样的结点：

3、3结点情况是中间情况，即包含 2 个元素和 3 个儿子，

。

 

第二节、Red-Black trees（红黑树）

2.1、红黑树与2-3-4树的等价性

    上述第一节中，总是说红黑树是与2-3-4树等价的数据结构，下面，我来挖掘出他们的之间的等价性给你看，看看在红黑树上是否能看到2-3-4树的影子?ok，请看下图：

    恩，yeah，不知你是否也看明白了：红黑树真的就是一种2-3-4树，为什么这么说呢?因为从上图中，你能轻易的看到，2-3-4树中的3-结点，和4-结点分裂后，的确就是红黑树中的结点元素形式了。

    Ok，可能你还不相信，再送给你一幅图，从中，你是否已看出了丝毫端倪?：

    在上面的图中，你可以清楚的看到图中左部分的2-3-4树最终能转换成一棵红黑树。不过，在上述情况下，红黑树最终将调整如下：

 

2.2、红黑树的插入操作

下图所示的代码是红黑树的插入操作代码：

    在红黑树中，有一个非常重要的基础操作，那就是左旋与右旋，在本blog之前的红黑树系列已经对这两种情况进行过详尽的阐述，下图是左旋和右旋各自的操作及对应的代码：

而红黑树的左旋、右旋操作情况中与2-3-4树对应起来的情况如下图所示：

2.2.1、红黑树的插入情况一：父母是2-结点

2.2.2、红黑树的插入情况二：父母是3-结点

    其余一切类似插入操作不再阐述。关于红黑树的删除操作在本blog内已经有所具体的阐述，本文不再叙述。全文完。

备注：本blog内的6篇红黑树文章如下：

初步了解红黑树，请看此文：教你透彻了解红黑树

关于红黑树的算法实现，请看此文（对红黑树的删除情况有比较清晰的阐述）：红黑树算法的实现与剖析

红黑树的c源码实现，请看此文：红黑树的c源码实现与剖析

C++源码实现，请看此文：红黑树的c++完整实现源码

本红黑树系列中一篇重要的文章：红黑树插入和删除结点的全程演示

其余文章还有：一步一图一代码，R-B Tree

参考文献：

1、：Left-Leaning Red-Black Trees, Dagstuhl Workshop on Data Structures, Wadern, Germany, February, 2008.。可以在这里下载到：http://www.cs.princeton.edu/~rs/talks/LLRB/RedBlack.pdf。

2、本blog内6篇红黑树文章：红黑树(Red-Black Tree )。

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