图的基本概念，图的遍历、拯救007

图（graph）：
表示“多对多”的关系
六度空间理论（Six Degrees Separation）
包含：
1.一组顶点：通常用V(Vertex)表示顶点集合
2.一组边：通常用E(edge)表示边的集合
边是顶点对：（v, w) 属于E， v , w 属于V
有向边<v, w>表示v 指向w的边（单行线）
不考虑重边和自回路

抽象数据类型定义：
1.类型名称：图
2.数据对象集：G(V, E)由一个非空的有限顶点集合v 和一个有限边集合Ezucheng
2.操作集：

常见术语：
有向图：边是有方向的，可能是单向或双向
无向图：边没有方向
带权重的图叫“网络”

怎么在程序中表示一个图：
1.邻接矩阵G[N][N] --- N个顶点从0到N-1编号
1 若<Vi, Vj>是G中的边
G[i][j] = 0 否则

对角元都是0 因为不允许自回路
所有点关于对角线对称（实际上我们把一条边存了两次）
问题：对于无向图的存储，怎样可以省一半空间？
用一个长度N(N+1)/2的一维数组A来存储这些元素Gij在A中的下标是：
（i*(i + 1) / 2 + j)
对于网络，只要把G[i][j]的值定义为边<Vi, Vj>的权重即可
若Vi和Vj之间没有边，则暂用0表示

用邻接矩阵表示一个图的好处：
1.直观、简单、好理解
2.方便检查任意一对顶点间是否存在边
3.方便找任一顶点的“邻接点”（有边直接相连的顶点）
4.方便计算任一顶点的度：（从该顶点发出的边的边数为“出度”， 指向该点的边的边数为“入度”
无向图：对应行（或列）非0元素的个数（也就是所有边的条数）
有向图：对应行非零元素的个数就是“出度”，对应列非零元素的个数就是“入度”

缺点：
1.浪费空间：存稀疏图的时候，点很多，但是边很少，有大量无效元素
对稠密图（特别是完全图）还是很合算的
2.浪费时间: 统计稀疏图中一共有多少条边

用邻接表示一个图：
G[n]为指针数组，对应矩阵每行一个链表，只存非零元素
一定要够稀疏才划算
好处：
1.方便找任一顶点的所有“邻接点”
2.节约稀疏图的空间（需要N个头指针， + 2E个结点（每个结点至少2个域）
3.方便计算任一顶点的度？
对于无向图：是的
对于有向图：只能计算“出度”， 需要构造“逆邻接表”（存指向自己的边，邻接矩阵的一列）
方便计算“入度”
不方便检查任意一对顶点间是否存在边

5.2 图的遍历
1.深度优先搜索（Depth Firsh Search, DFS)
伪代码：(走一步，看一步，走不通后返回到上一个能走通的结点）

类似于树的先序遍历：

void DFS(Vertex V)
{
    visited[V] = true;
    for(V  的每个邻接点 w)
        if(!visited[w])
            DFS(w);
}

若有N个顶点，E条边，时间复杂度是
用邻接表存储图：有O(N+E)
用邻接矩阵存储图：有O(N^2)

2.广度优先搜索（Breadth First Search, BFs)（感觉上应该和邻接表存储搭配更好，但是感觉邻接矩阵也应该合格搭配更好）
（个人感觉用这种遍历方式更好一些）
相当于树的层序遍历（计划性非常强，出队一个，访问一圈，访问的同时入队）

void BFS(Vertex V)
{
    visited[V] = true;
    EnQueue(V, Q);
    while(!IsEmpty(Q))
    {
        V = DeQueue(Q);
        for(V 的每个邻接点 w)
            if(!visited[w])
            {
                vitsit[w] = true;
                EnQueue(w, Q);
            }
    }
}

若有N个顶点，E条边，时间复杂度是
用邻接表存储图：有O(N + E)
用邻接矩阵存储图： 有O(N^2）

每调用一次DFS(V)或BFS(V)，就把V所在的强连通分量遍历了一遍。

 

图不连通怎么办（可能有一些孤立的点，他们和其他的结点都不连通）
连通：如果从v 到w存在一条（无向）路径，则称v和w是连通的
路径：v到w的路径是一系列顶点的集合，其中任意一对相邻的顶点间都有图中的边。
路径的长度：是路径中的边数（如果带权，则是所有边的权重和）。如果v和w之间的所有顶点都不同，则称简单路径
回路：起点等于终点的路径
连通图：图中任意两顶点都连通

对于不连通图：
连通分量：无向图的极大连通子图
极大顶点数：再加一个顶点就不连通了
极大边数：包含子图中所有顶点相连的所有边

强连通：有向图中顶点v和w之间存在双向路劲，则称v和w是强连通的
强连通图：有向图中任意两顶点均强连通
弱连通图：不符合强连通图的条件，但是若是将边的方向都去掉，如果是连通的，则称为弱连通图
强连通分量：有向图的极大强连通子图

图不连通时的遍历方法：

伪代码：
void ListComponents(Graph G)
{
    for(each V in G)
        if(!visited[V])
            DFS(V);         //or BFS(V)
}

拯救007

void ListComponents(Graph G)
{
    for(each V in G)
        if(!visited[v])
            DFS(V);
}

void Save007 (Graph G)
{
    for(each V in G)
        if(!visited[V] && FirstJump(V)
        {
            answer = DFS(V);
            if(answer == Yes)
                break;
        }
    if(answer == Yes) output("Yes");
    else output("No"):
}

DFS 算法


int DFS(Vertex V)
{
    visited[V] = true;
    if(IsSave(v)) answer = Yes;
    else {
        for(each w in G)
            if(!visited[w] && Jump(v, w)
            {
                answer = DFS[w];
                if(answer == yes)
                    break;
            }
    }
    return answer;
}