排队论

1 基本概念

1.1 排队论的一般模型

1）输入过程

• 顾客总体可能是有限或无限的
• 顾客可能是一个一个来，也可能是成批到来的
• 顾客到达时间的间隔时间是确定型的，也可以是随机型的
• 顾客的到达是相互独立的
• 输入过程是平稳的，或称为对时间是齐次的，即相继到达的时间间隔分布与时间无关

---

2）排队规则

• 损失制
  • 顾客到达后发现有人就不再在这里排队
• 等待制
  • 发现有人就到队伍后面排队
• 混合制
  • 有一个阈值，当队伍长度小于这个值的时候，去排队，大于这个值就离开

---

3）服务过程

• 服务规则
  • 顾客到达的方式可能是即时制，也可能是等待制的，等待制的服务方式有
    • 先到先服务
    • 后到先服务
    • 随机服务
    • 有优先权的服务
    • 排队的队列可以有形状，也可以无形状
  • 排队的容量可以是有限的、也可以是无限的
  • 排队的数目可以是单列或多列，队内的人有的可以相互转移，有的不能转移
• 服务机构
  • 无服务台，或一个或多个服务台
  • 对于多个服务台，可以是并列的也可以是串列的，也可以是混合的
  • 服务方式可以是一个一个进行的也可以是成批成批进行的
  • 服务时间可以是确定型的也可以是随机型的，随机性的需要知道随机的时间长短的分布
  • 服务的时间的分布对时间是平稳的，即分布均值、方差等都与时间无关

---

2 排队模型的标准形式

标准形式为 \(X/Y/Z/A/B/C\)，其中\(X\)表示相继到达时间间隔的分布，\(Y\)表示服务时间的分布

• \(X和Y\)的取值情况
  • \(M(Markov)\) ：表示负指数分布
  • \(D(Deterministic)\)：表示确定型的分布
  • \(E_{k}(Erlang)\)：表示\(k\)阶爱尔朗分布
  • \(GI(General Independent)\)：表示一般相互独立的时间间隔分布
  • \(G\)：表示一般服务时间的分布
    其中\(Z\)表示服务台的个数，\(A\)表示系统的容量限制，\(B\)表示顾客源的数目，\(C\)表示服务规则
• \(C\)的种类有
  • \(FCFS\)：先到先服务
  • \(LCFS\)：后到先服务
  • 随机服务
  • 有特权的服务
    通常只考虑\(FCFS\)的情况时略去此项，例如\(M/M/C/N/m\)
    即顾客相继到达的时间间隔服从负指数分布，服务时间为负指数分布，\(C\)个服务台，系统容量为\(N\)，顾客源数为\(m\)，先到先服务

---

3 排队系统的运行指标

• 队长：指排队系统中的总顾客数，\(L_{s}\)
• 排队队长：指在队列中排队等待服务的顾客数，其期望值记做\(L_{q}\)，则\(L_{s}=L_{q}+L_{n}\)，其中\(L_{n}\)为正在服务的顾客数目
• 逗留时间：指一个顾客在一个系统中的停留时间，期望值记做\(W_{s}\)
• 等待时间：指一个顾客在队列中等待的时间，期望值为\(W_{q}\)，即\(W_{s}=W_{q}+\tau\)，其中\(\tau\)记做服务时间
• 忙期：服务台连续工作的时间，\(T_{b}\)
• 损失率：由于系统条件的限制，使顾客被拒绝服务而使服务部门收到损失的概率，用\(P_{损}\)表示
• 服务强度
  • 绝对通过能力\(A\),表示单位时间内被服务乘客的均值，或称作平均服务率
  • 相对通过能力\(Q\),表示单位时间内被服务完的顾客数与请求服务的顾客数之比

---

4 系统状态的概率

系统的状态就是指系统中顾客的数量，如果系统中总共有顾客\(n\)人，即状态为\(n\)，系统状态可能的取值有

• 当队长无限时，\(n=0，1，2,\dots ，n\)
• 当队长有限制时，最大为\(N\)时，队长为\(n=0，1，2，\dots，N\)
• 当服务台个数为\(c\)，且服务为即时制时，队长为\(n=0，1，2，\dots，c\)
  状态的取值与时间\(t\)有关，因此在时间\(t\)系统状态取值为\(n\)的概率记做\(P_{n}(t)\)，如果\(\lim _{t \rightarrow \infty} P_{n}(t)=P_{n}\)，即为稳态解
  实际中\(t\)不到\(\infty\)就会达到稳态

---

2 到达时间的间隔分布和服务时间的分布

2.1 乘客到达数量的分布

• 服从泊松分布，一般下，
  • \(P_{n}(t)=\frac{(\lambda t)^{n}}{n !} \mathrm{e}^{-\lambda t} \quad(n=0,1,2, \cdots, t>0)\)
• 表示在长度为\(t\)的时间段内到达\(n\)个顾客的概率，即为泊松分布
  • 数学期望为\(E[N(t)]=\lambda t\)
  • 数学方差为\(D[N(t)]=\lambda t\)

---

2.2 乘客到达时间间隔的分布

服从指数分布或\(k\)阶爱尔朗分布

2.3 乘客服务时间的分布

服从指数分布

3 常见的服务台模型

3.1 M/M/1/∞

1）系统在任意时刻状态为 n的概率

顾客到达的规律服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，服务的时间服从参数为\(\mu\)的指数分布，在时间间隔\([t, t+\Delta t)\)内

1. 有一个顾客到达的概率为\(\lambda \Delta t+o(\Delta t)\)
2. 没有一个顾客到达的概率为\(1-\lambda \Delta t+o(\Delta t)\)
3. 有一个顾客被服务完的概率为：\(\mu \Delta t+o(\Delta t)\)
4. 没有一个顾客被服务完的概率为：\(1-\mu \Delta t+o(\Delta t)\)
5. 多于一个顾客被服务完或到达的概率为：\(o(\Delta t)\)
   其中\(o(\Delta t)\)趋近\(0\)
   在\(t, t+\Delta t\)时刻中，系统有\(n\)个顾客的概率为\(P_{n}(t+\Delta t)\),共有四种可能的情况
   | 时刻\(t\)的顾客数 | 在区间\((t,t+ \Delta t)\) | 在时刻\(t+\Delta t\) | \(P_{n}(t+\Delta t)\)|
   | :----: | :----: | :----: | :---- |
   | n | 到达：$\times $ 离开：\(\times\) | n |\(P_{n}(t)(1-\lambda \Delta t)(1-\mu \Delta t)\) |
   | n+1| 到达：\(\times\) 离开：\(\checkmark\) | n | \(P_{n+1}(t)(1-\lambda \Delta t) \mu \Delta t\) |
   | n-1 | 到达：\(\checkmark\) 离开：\(\times\) | n | \(P_{n-1}(t)(\lambda \Delta t)(1-\mu \Delta t)\) |
   | n | 到达：\(\checkmark\) 离开：\(\checkmark\) | n | \(P_{n}(t)(\lambda \Delta t)(\mu \Delta t)\) |

• \(M/M/1/\infty\)状态转移图
  

---

2）任意时刻的系统状态

服务强度为\(\rho=\frac{\lambda}{\mu}\)，令\(\rho < 1\)，根据\(\sum_{\Sigma=0}^{\infty} P_{n}=1\)，即\(P_{0} \sum_{n=0}^{\infty} \rho^{n}=\frac{P_{0}}{1-\rho}=1\)
得到系统状态为：

• \(\left\{\begin{array}{l}P_{0}=1-\rho \\ P_{n}=(1-\rho) \rho^{n}, n \geqslant 1\end{array}\right.\)

---

3）系统的运行指标

• 队长（平均顾客数）：设系统的状态为\(n\)，由期望的定义可以得到：
  $L_{s}=\sum_{n=0}^{\infty} n P_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} n(1-\rho) \rho^{n}=\frac{\rho}{1-\rho}=\frac
• 等待队列长度（等待的平均顾客数）：
  \(L_{q}=\sum_{n=1}^{\infty}(n-1) P_{n}=L_{s}-\rho=\frac{\rho^{2}}{1-\rho}=\frac{\rho \lambda}{\mu-\lambda}\)
• 系统中各顾客的停留时间：服从参数为\(\mu - \lambda\)的指数分布，由此得到
  • 分布函数为：\(F(w)=1-\mathrm{e}^{-(\mu-\lambda) w}\)
  • 概率密度函数为：\(f(w)=(\mu-\lambda) e^{-(\mu-\lambda) w}\)
  • \(w_{s}=E(w)=\frac{1}{\mu-\lambda}\)
• 系统运行指标：
• \(L_{s}=\frac{\lambda}{\mu-\lambda}\)
• $ L_{q}=\frac{\rho \lambda}{\mu-\lambda}$
• \(w_{s}=\frac{1}{\mu-\lambda}\)
• $ W_{q}=\frac{\rho}{\mu-\lambda}$

---

3.2 M/M/1/N/∞

1）稳定状态

• 状态转移图
  
• 稳定状态的方程
  • \(\left\{\begin{array}{l}\mu P_{1}=\lambda P_{0} \\ \mu P_{n+1}+\lambda P_{n-1}=(\lambda+\mu) P_{n}(1 \leqslant n \leqslant N-1) \\ \mu P_{N}=\lambda P_{N-1}\end{array}\right.\)

---

2）系统状态概率

• \(\sum_{n=0}^{N} P_{n}=1\)，由递推关系得到系统状态的概率为
  • \(\left\{\begin{array}{l}P_{0}=\frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}}, \rho \neq 1 \\ P_{n}=\frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}} \rho^{n}, 1 \leqslant n \leqslant N\end{array}\right.\)
• 当\(\rho = 1\)时，\(P_{0}=P_{1}=\dots =P_{N}=\frac{1}{N+1}\)

---

3）系统运行指标

• \(L_{s}=\sum_{n=0}^{N} n P_{n}=\frac{\rho}{1-\rho}-\frac{(N+1) \rho^{N+1}}{1-\rho^{N+1}}, \rho \neq 1\)
• \(L_{q}=\sum_{n=1}^{N}(n-1) P_{n}=L_{s}-\left(1-P_{0}\right)\)
• \(w_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda_{e}}=\frac{L_{s}}{\lambda\left(1-P_{0}\right)}=\frac{L_{q}}{\lambda\left(1-P_{N}\right)}+\frac{1}{\mu} \\\)
  • 系统容量为满时平均到达率为\(\lambda\)，满时为\(0\)，引入有效到达率\(\lambda_{c}\)
  • \(\lambda_{c}\)表示有空时平均到达率\(\lambda\)减去满员后拒绝乘客的平均数\(\lambda P_{N}\)，即\(\lambda_{e}=\lambda\left(1-P_{N}\right)\)
  • \(\lambda_{e}=\lambda\left(1-P_{N}\right)=\lambda\left(1-\frac{1-\rho}{1-\rho^{N+1}} \rho^{N}\right)=\lambda \frac{1-\rho^{N}}{1-\rho^{N+1}} \\\)
  • \(\mu=\frac{\lambda P_{0}}{P_{1}}=\frac{1-\rho^{N+1}}{(1-\rho) \rho} \lambda P_{0}=\frac{\lambda}{\rho}\)
  • 有效服务强度：$\frac{\lambda_{e}}{\mu}=\lambda\left(1-\frac{1-\rho^{N}}{1-\rho{N+1}}\right) \frac{\rho}{\lambda}=\frac{\rho-\rho^{{N+1}}{1-\rho}{N+1}}=1-P_{0} $
• \(w_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda_{e}}=\frac{L_{q}}{\lambda\left(1-P_{N}\right)}=w_{s}-\frac{1}{\mu}\)

---

3.3 M/M/1/m/m/∞

1）稳定状态

• 状态转移图
  
• 稳态平衡方程
  • \(\left\{\begin{array}{l}\mu P_{1}=m \lambda P_{0} \\ \mu P_{n+1}+(m-n+1) \lambda P_{n-1}=[(m-n) \lambda+\mu] P_{n}(1 \leqslant n \leqslant m-1) \\ \mu P_{m}=\lambda P_{m-1}\end{array}\right.\)

---

2）系统状态

• \(\left\{\begin{aligned} P_{0}=& \frac{1}{\sum_{i=0}^{m} \frac{m !}{(m-i) !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{i}} \\ P_{n} &=\frac{m !}{(m-n) !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{n} P_{0}, 1 \leqslant n \leqslant m \end{aligned}\right.\)

---

3）系统运行指标

• \(L_{s}=\sum_{n=0}^{m} n P_{n}=m-\frac{\mu}{\lambda}\left(1-P_{0}\right), w_{s}=\frac{m}{\mu\left(1-P_{0}\right)}-\frac{1}{\lambda}, w_{q}=w_{s}-\frac{1}{\mu}\)
• \(L_{q}=\sum_{n=1}^{m}(n-1) P_{n}=m-\frac{(\lambda+\mu)\left(1-P_{0}\right)}{\lambda}=L_{s}-\left(1-P_{0}\right)\)

---

3.4 M/M/c/∞/∞

1）稳定状态

假设平均到达率为\(\lambda\)，服务台的服务时间服从指数分布，各个服务台之间的相互独立，单个服务台的服务率为\(\mu\)，整个的服务率为

• \(c \mu（n\geq c）\)
• \(n \mu （n < c）\)
  服务强度\(\rho=\frac{\lambda}{c \mu}\)，当\(\rho > 1\)的时候就会出现排队现象
• 平衡状态方程
  • \(\left\{\begin{array}{l}\mu P_{1}=\lambda P_{0} \\ (n+1) \mu P_{n+1}+\lambda P_{n-1}=(\lambda+n \mu) P_{n}(1 \leqslant n \leqslant c) \\ \\ c \mu P_{n+1}+\lambda P_{n-1}=(\lambda+c \mu) P_{n}(n>c)\end{array}\right.\)

---

2）系统状态

• \(\sum_{n=0}^{\infty} P_{n}=1\)，\(\rho=\frac{\lambda}{c \mu} \leqslant 1\)，得到
  • \(P_{0}=\left[\sum_{k=0}^{c-1} \frac{1}{k !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{k}+\frac{1}{c !} \frac{1}{1-\rho}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{c}\right]^{-1}, P_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{n} P_{0}, \text { 当 } n \leqslant c, \\ \\ \frac{1}{c !} \frac{1}{c^{n-c}}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{n} P_{0}, \text { 当 } n>c\end{array}\right.\)

---

3）系统指标

• \(L_{s}=L_{q}+\frac{\lambda}{\mu}\)
• \(L_{q}=\sum_{n=c+1}^{\infty}(n-c) P_{n}=\sum_{k=1}^{\infty} k P_{k+c}=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{c ! c^{k}}(c \rho)^{k+c} P_{0}=\frac{(c \rho)^{c} \rho}{c !(1-\rho)^{2}} P_{0}\)
  • \(\text { 其中 } c \rho=\frac{\lambda}{\mu}, k=n-c\)
• \(w_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda}=\frac{(c \rho)^{c} \rho}{c !(1-\rho)^{2} \lambda} P_{0}+\frac{1}{\mu}\)
• \(w_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda}=\frac{(c \rho)^{c} \rho}{c !(1-\rho)^{2} \lambda} P_{0}\)

---

3.5 M/M/c/N/∞

1）稳定状态

• 当系统客满时（\(N\)个顾客），有\(c\)个正在接受服务，\(N-c\)个在排队，再来的顾客将被拒绝而离去，系统将会产生损失率
• 当系统状态为\(n\)时，每个服务台的服务率为\(\mu\)，系统的总服务率为
  • \(n \mu\)，\(0< n < c\)时
  • \(c \mu\)，\(n \geq c\)时
• 令\(\rho=\frac{\lambda}{c \mu}\)为系统的服务强度
• 平衡状态方程
  • \(\left\{\begin{array}{l}\mu P_{1}=\lambda P_{0} \\ \\ (n+1) \mu P_{n+1}+\lambda P_{n-1}=(\lambda+n \mu) P_{n} \quad(1 \leqslant n \leqslant c) \\ \\ c \mu P_{n+1}+\lambda P_{n-1}=(\lambda+c \mu) P_{n} \quad(c \leqslant n<N) \\ \\ \lambda P_{N-1}=c \mu P_{N}\end{array}\right.\)

---

2）系统状态

• \(\sum_{n=0}^{N} P_{n}=1\)，\(\rho=\frac{\lambda}{c \mu} \leqslant 1\)
  • \(P_{0}=\left\{\begin{array}{l}{\left[\sum_{k=0}^{c-1} \frac{1}{k !}(c \rho)^{k}+\frac{c^{c}}{c !} \frac{\rho\left(\rho^{c}-\rho^{N}\right)}{1-\rho}\right]^{-1}, \rho \neq 1} \\ \\ \sum_{k=0}^{c-1} \frac{1}{k !}(c)^{k}+\frac{c^{c}}{c !}(N-c+1), \rho=1\end{array}\right.\)
  • \(P_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{n !}(c \rho)^{n} P_{0}, \text { 当 } 0 \leqslant n \leqslant c \\ \\ \frac{c^{c}}{c !} \rho^{n} P_{0}, \text { 当 } c<n \leqslant N\end{array}\right.\)
• \(M/M/c/N/N/ \infty\)，即时制不允许有顾客排队时
  • \(P_{0}=\left[\sum_{k=0}^{c-1} \frac{(c \rho)^{k}}{k !}\right]^{-1}\)
  • \(P_{n}=\frac{(c \rho)^{n}}{c !} P_{0}\)

---

3）系统指标

• \(L_{s}=L_{q}+c \rho\left(1-P_{N}\right)\)
• \(L_{q}=\sum_{n=c+1}^{N}(n-c) P_{n}=\frac{(c \rho)^{c} \rho}{c !(1-\rho)^{2}} P_{0}\left[1-\rho^{N-c}-(N-c)(1-\rho) \rho^{N-c}\right]\)
• \(w_{s}=w_{q}+\frac{1}{\mu}\)
• \(w_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda\left(1-P_{N}\right)}\)
• 系统满员的损失率
  • \(P_{\text {提 }}=P_{N}=\frac{c^{c}}{c !} \rho^{N} P_{0}\)
• \(M/M/c/N/N/ \infty\)，即时制不允许有顾客排队时
  • \(L_{q}=W_{q}=0\)
  • \(L_{s}=\sum_{n=1}^{c} n P_{n}=c \rho\left(1-P_{c}\right)\)
  • \(W_{s}=\frac{1}{\mu}\)

---

3.6 M/M/c/∞/m

1）稳定状态

• 参数含义与以上相同
  • \(\left\{\begin{array}{l}\mu P_{1}=m \lambda P_{0} \\ \\ (n+1) \mu P_{n+1}+(m-n+1) \lambda P_{n-1}=[(m-n) \lambda+n \mu] P_{n} \quad(1 \leqslant n \leqslant c) \\ \\ c \mu P_{n+1}+(m-c+1) \lambda P_{n-1}=[(m-c) \lambda+c \mu] P_{n} \quad(c \leqslant n<m) \\ \\ \lambda P_{m-1}=c \mu P_{m}\end{array}\right.\)

---

2）系统状态

• \(P_{0}=\frac{1}{m !}\left[\sum_{k=0}^{c} \frac{1}{k !(m-k) !}\left(\frac{c \rho}{m}\right)^{k}+\frac{c^{c}}{c !} \sum_{k=0}^{c} \frac{1}{(m-k) !}\left(\frac{\rho}{m}\right)^{k}\right]^{-1}, \rho=\frac{m \lambda}{c \mu}\)
• \(P_{n}=\left\{\begin{array}{l}\frac{m !}{(m-n) ! n !}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{n} P_{0}, \quad \text { 当 } 0 \leqslant n \leqslant c \\ \\ \frac{m !}{(m-n) ! c ! c^{n-c}}\left(\frac{\lambda}{\mu}\right)^{n} P_{0}, \quad \text { 当 } c<n \leqslant m\end{array}\right.\)

---

3）系统指标

• 有效到达率为\(\lambda_{e}=\lambda\left(m-L_{s}\right)\)
  • \(L_{s}=\sum_{n=1}^{m} n P_{n}\)
    • \(L_{s}=L_{q}+\frac{\lambda_{e}}{\mu}=L_{q}+\frac{\lambda}{\mu}\left(m-L_{s}\right)\)
  • \(L_{q}=\sum_{n=c+1}^{m}(n-c) P_{n}\)
  • \(w_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda_{e}}\)
  • \(w_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda_{e}}\)