【整除分块】 余数之和

传送门

题意

给定正整数\(n，k\)，计算\((k \; mod\; 1)+(k\; mod\; 2)+(k\; mod\; 3)+\dots +(k\; mod\; n)\)的值,

数据范围

\(1\leq n,k \leq 10^{9}\)

题解

\(k\; mod \; i = k- \lfloor \frac{k}{i} \rfloor \times i\)，问题转化为计算\(n\times k - \sum_{i=1}^{n} \lfloor \frac{k}{i}\rfloor \times i\)
证明\(\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor \times i\)最多只有\(2 \sqrt{k}\)个值，

• 当\(i \leq \sqrt{k}\)的时候，最多有\(\sqrt{k}\)个不同的取值
• 当\(i>\sqrt{k}\)的时候，\(\left\lfloor\frac{k}{i}\right\rfloor < \sqrt{k}\) , 故最多有\(\sqrt{k}\)个不同的取值

易知\(\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor\)相同的必定是连续的，若某一个相等区间\(x\)是下界，上界是\(\left\lfloor\frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor}\right\rfloor\)
证明：
令 \(l = x\)，\(r = \left\lfloor\frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor}\right\rfloor\), \(\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor\)显然随着\(x\)增加减少，

\[\because\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor\leq \frac{k}{x}，\therefore r \geqslant\left\lfloor\frac{k}{\left(\frac{k}{x}\right)}\right\rfloor=x \]

\[\therefore\left\lfloor\frac{k}{r}\right\rfloor \leq\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor \]

\[\begin{array}{l}\because r \leq \frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{x} \rfloor\right.} , \therefore \left\lfloor\frac{k}{r}\right\rfloor \geqslant\left\lfloor\frac{k}{\frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor}}\right\rfloor\end{array} \]

\[\therefore \left\lfloor\frac{k}{r}\right\rfloor \geqslant x \]

综上可以得到

\[\left\lfloor \frac{k}{r}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor \]

\[\because i \in\left[x,\left\lfloor\frac{k}{\left\lfloor\frac{k}{x}\right\rfloor}\right\rfloor\right]区间内的数,\lfloor\frac{k}{i}\rfloor的值都相等 \]

时间复杂度：\(O(\sqrt{k})\)

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

ll ans;

int main()
{
    ll n,k,l,r;
    cin>>n>>k;
    ans=n*k;
    for(l = 1;l<=n;l=r+1)
    {
        if(k/l == 0) break;//0对答案无贡献

        r=min(k/(k/l),n);
        ans-=1ll * (k/l) *(l+r)*(r-l+1)/2;//等差数列求和你n*(a1+an)/2
    }
    cout<<ans<<endl;
}