古代猪文
# 题意
给定$n$，$q$，求$q^{\Sigma \operatorname{din} C_{n}^{d}} \bmod p$，$p=999911659$
$1 \leqslant n, q \leq 10^{9}$
# 题解
就是对$n$的每一个正约数$d$，求$C_{n}^{d}$,因为$1 \leqslant n, q \leq 10^{9}$，所以不会有p的倍数，
所以只有$q=p$的时候原式才为$0$,所以当$q!=p$时，欧拉降幂$q^{\Sigma_{d m} c_{n}^{d}} \equiv q^{\Sigma_{d m} C_{n}^{d} \% p-1}(\bmod p)$
降幂后$p$非质数用$ExLucas$即可，将$p-1$分解质因数后为$2$、$3$、$4679$、$35617$，对于每个质因数，预处理所有阶乘，
每次$Lucas$的复杂度是$O\left(\log _{p} N \times p \times \log p\right)$
1 #include <bits/stdc++.h> 2 #define ll long long 3 using namespace std; 4 const int mod=999911658; 5 ll n,q; 6 ll a[5],b[5]={0,2,3,4679,35617}; 7 ll v[50010]; 8 void init(ll p){ 9 v[0]=1; 10 for(ll i=1;i<=p;i++){ 11 v[i]=v[i-1]*i%p; 12 } 13 } 14 ll qmi(ll a,ll b,ll p){ 15 ll res=1; 16 while(b){ 17 if(b&1) res=res*a%p; 18 a=a*a%p; 19 b>>=1; 20 } 21 return res; 22 } 23 ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ 24 if(!b){ 25 x=1,y=0; 26 return a; 27 } 28 ll d=exgcd(b,a%b,y,x); 29 y-=(a/b)*x; 30 return d; 31 } 32 vector<ll> get_divisor(ll n){ 33 vector<ll>res; 34 for(ll d =1 ;d<=n/d;d++){ 35 if(n%d==0){ 36 res.push_back(d); 37 if(d*d!=n) 38 res.push_back(n/d); 39 } 40 } 41 sort(res.begin(),res.end()); 42 return res; 43 } 44 ll CRT(){ 45 ll M=1; 46 for(int i=1;i<=4;i++){ 47 M*=b[i]; 48 } 49 ll res=0; 50 for(int i=1;i<=4;i++){ 51 ll x,y; 52 ll tmp=M/b[i]; 53 exgcd(tmp,b[i],x,y); 54 res=(res+tmp*x*a[i])%M; 55 } 56 return ((res+M)%M)%M; 57 } 58 ll C(ll n, ll m, ll p){ 59 if(n<m) return 0;if(!n) return 1; 60 return v[n] * qmi(v[m],p-2,p) % p * qmi(v[n-m],p-2,p)%p; 61 } 62 ll lucas(ll n,ll m,ll p){ 63 if(n<m) return 0;if(!n) return 1; 64 if(n<p&&m<p) return C(n,m,p); 65 return (ll)C(n%p,m%p,p)*lucas(n/p,m/p,p)%p; 66 } 67 int main(){ 68 cin>>n>>q; 69 if(q==mod+1) { 70 puts("0");return 0; 71 } 72 auto d=get_divisor(n); 73 for(int i=1;i<=4;i++){ 74 init(b[i]); 75 for(int j=0;j<d.size();j++){ 76 a[i]=(a[i]+lucas(n,d[j],b[i]))%b[i]; 77 } 78 } 79 ll ans=CRT(); 80 cout<<qmi(q,ans,mod+1)<<endl; 81 }
