XOR( 异或空间

XOR

# 题意

给出$n$个数，$a_{i}$_，从中选取一些进行异或运算(可以只有一个)，求出他们所有可能组合得到的异或值去重后的第$k$小的值

$1 \leqslant a_{i} \leqslant 10^{18}$

# 题解

因为是去重后的值所以求出线性基然后组合即可

因为$1 \leqslant a_{i} \leqslant 10^{18}$即所有数都在二进制$64$位之间，可以将每个数看做是$64$位二进制数，通过高斯消元后求得简化的行阶梯型矩阵，

即线性基，矩阵的秩为$r$，首先最大的数即所有数异或，其余的都是组合，一共有$2^{r}$种，这里是包含了值为$0$的项，

需要判断是否存在$0$，因为题目中不会选出$a_{i} \oplus a_{i}$所以不一定存在$0$，在高斯消元后如果存在$0$，即说明存在几个数异或等于$0$

将$k-1$即可，然后通过二进制求出第$k-1$小的数，如果 $k \geqslant 2^{t}$ 即没有这么多不同的值就输出$-1$

#include <bits/stdc++.h>
#define ull long long
using namespace std;
const int N=1e4+10;
int n,m;
ull a[N];
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    for (int T = 1; T <= t; T++) {
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        bool zero = 0;
        int r = n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = i + 1; j <= n; j++)
                if (a[j] > a[i]) swap(a[i], a[j]);

            if (a[i] == 0) {//最大的主元为0后面的肯定也是0
                r = i - 1;
                zero = 1;
                break;
            }
            for (int k = 63; k >= 0; k--)
                if (a[i] >> k & 1) {
                    for (int j = 1; j <= n; j++)
                        if (j != i && (a[j] >> k & 1)) a[j] ^= a[i];
                    break;
                }
        }
        cin >> m;
        cout << "Case #" << T << ":" << endl;
        while (m--) {
            ull k, ans = 0;
            cin >> k;
            if (zero) k--;
            if (k >= 1llu << r) puts("-1");
            else {
                for (int i = r-1 ; i >= 0; i--)
                    if (k >> i & 1) ans ^= a[r - i];
                cout << ans << endl;
            }
        }
    }
}