开关问题(异或线性方程组

开关问题

# 题意

$n$个相同的开关，每个开关都与某些开关有联系，每次操作某个开关，与操作开关相关的开关也会发生变化，即这些相联系的开关状态原来是开就为关，关变开，经过若干次开关操作后使得最后$n$个开关达到一个特定的状态，对于任意一个开关，最多只能拿进行一次开关操作，计算可能达到指定状态的方法，

# 题解

开关只有开和关两个状态，用$0$和$1$来表示，其中$1$表示开，$0$表示关，如果某个开关操作xi = 1，不操作xi = 1

如果两个开关i，j相连那么a[i][j] = 1,否则为0，其中xi为未知数，如果$i$和$j$相关那么xj为真的话显然xi的状态会不变化

而如果开关原来是关即0，操作开关即1，变成1，原来是0，操作，变为1 ，反之亦然，即异或操作

可以得到方程组

a11&x1 ^ a12 & x2 ^ ...... a1n & xn ^ ori 1 = end1   
a21&x1 ^ a22 & x2 ^ ...... a2n & xn ^ ori 2 = end2   

......

an1&x1 ^ an2 & x2 ^ ...... ann & xn ^ ori n = endn

根据异或的性质可以将每个ori 移到方程的右边

高斯消元求异或方程组即可

最后因为x的取值稚嫩那个是0或1，最后方案数就是自由元个数k，2k   

 

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 using namespace std;
 4 const int N=110;
 5 int n;
 6 int a[N][N];
 7 int gauss()
 8 {
 9     int c, r;
10     for (c = 1, r = 1; c <= n; c ++ ){
11         int t = r;
12         if(a[r][c] != 1)
13             for (int i = r + 1; i <= n; i ++ )
14                 if (a[i][c])
15                     t = i;
16         if (!a[t][c]) continue;
17         for (int i = c; i <= n + 1; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);
18 
19         for (int i = r + 1; i <= n; i ++ )
20             if(a[i][c])
21                 for (int j = n+1; j >= c; j -- )
22                     a[i][j] ^=  a[r][j];
23         r ++ ;
24     }
25     int res=1;
26     if (r < n+1){
27         for (int i = r; i <= n; i ++ )
28         {
29             if (a[i][n+1]) return -1;
30             res*=2;
31         }
32     }
33     return res;
34 }
35 int main(){
36     int t;
37     scanf("%d",&t);
38     while(t--){
39         memset(a,0,sizeof a);
40         scanf("%d",&n);
41         for(int i=1;i<=n;i++)
42             cin>>a[i][n+1];
43         for(int i=1;i<=n;i++){
44             int tmp;
45             cin>>tmp;
46             a[i][n+1] ^= tmp;
47             a[i][i]=1;
48         }
49         int x,y;
50         while(scanf("%d%d",&y,&x),x||y)
51             a[x][y]=1;
52         int ans=gauss();
53         if(ans==-1)  puts("Oh,it's impossible~!!");
54         else printf("%d\n",ans);
55     }
56 }

 

posted @ 2020-04-18 15:39  Hyx'  阅读(401)  评论(0)  编辑  收藏  举报