The Luckiest Number ( 欧拉定理变形

# 题意

多组测试样例，给定一个L，求位数最少的全由8组成的数是L的倍数，输出时加上"Case t: "

数据范围：

1 ≤ L ≤ 2*10⁹

# 题解

x位数字每一位是8的数字表示为8*(10^x-1)/9

10^x有x+1位，-1为x位由9构成，再除9就是x位由1构成的数字，乘8就是由x位8构成的数字

即转化成了求最小的x使得

   L｜8*(10^x-1)/9

L*k=8*(10^x-1)/9

9*L*k=8*(10^x-1)

gcd(9*L,8)=gcd(L,8)=d

(9*L)/d * k=8/d*(10^x-1)

u=(9*L)/d ,v=8/d

u*k=v*(10^x-1)

因为除了最大公约数所以u、v互质

因为u<v

u | (10^x-1)

即10^x-1 ≡ 0(mod u)

10^x ≡ 1 (mod (9L/d))

欧拉定理中a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，a和n互质

所以必定存在一个和10互质的u满足上式

但是只用欧拉定理无法求出最小的解

引理：

正整数a,n互质，则满足a^x ≡ 1 mod( n )的最小正整数x₀是φ(n)的约数

直观上将欧拉定理的φ(n)拆成φ(n) , a^x*y≡ 1 mod( n )

反证法证明：

将φ(n)拆解成x*k+y,假设x为满足方程最小的值且x>y>0,  x*k <φ(n) ,

a^x*k+y≡ 1 mod( n )

a^x ≡ 1 mod( n )

a^x*k*a^y≡ 1 mod( n )

a^y≡ 1 mod( n )

那么存在更小的y，矛盾

最后因为数很大10¹⁰*10¹⁰ 就会爆掉long long，乘法改用龟速乘及时取模防止溢出

时间复杂度为O(√u) u_max=(9*2*10⁹)/d = (1.8 * 10¹⁰)/d,d最小为2 约为10¹⁰ 

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e4;
ll L;
int n;
ll gcd(ll a, ll b){return b?(b,a%b):a;}
ll get_phi(ll x){
    ll res=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            res=res/i*(i-1);
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x>1) res=res/x*(x-1);
    return res;
}
ll qmul(ll a, ll k, ll p){
    ll res=0;
    while(k){
        if(k&1) res=(res+a)%p;
        a=(a+a)%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}
ll qmi(ll a,ll k ,ll p){
    ll res=1;
    while(k){
        if(k&1) res=qmul(res,a,p);//会爆long long
        a=qmul(a,a,p);//会爆long long
        k>>=1;
    }
    return res;
}
int main(){
    while(scanf("%lld",&L),L){
            printf("Case %d: ",++n);
            ll d=gcd(L,8);
            ll u=L/d*9;
            if(gcd(u,10)!=1) {printf("0");return 0;}
            ll phi=get_phi(u);
            ll ans=1e18;
            for(ll i=1;i<=phi/i;i++){
                if(phi % i==0){
                    if(qmi(10,i,u)==1) ans=min(ans,i);
                    if(qmi(10,phi/i,u)==1) ans=min(ans,phi/i);
                }
            }
            printf("%lld\n",ans);
    }
}