2019暑假杭二day5测试总结
T1
题目大意
吹雪养了一只猫，但是猫跑走了，于是她要把猫抓回来。
众所周知，猫总是喜欢乱跑，而且总是会跑进奇怪的地方：这个奇怪的地方可以被抽象成一张n个点m条边的无向图，且边的长度都为1；吹雪站在1号点，而跑走的猫可能出现在标号为2..n的点中的任意一个。
为了节省时间，吹雪一定要走两点间的最短路。
不幸的是，有q个事件，每个事件中都有一条边会被破坏，这使得某些点不能通过原有的最短路走到。
吹雪想知道前i个事件发生后有多少点到1号点的最短路长度被改变。
sol
这题我想了一个并查集的做法，将所有可能在最短路上的边都提取出来，建一个新图，然后将询问倒过来，在新图上执行加边操作，与1在同一个集合的点最最短路不变。
交上去后却发现并不能AC，边是有向的，并查集并不能直接将两个集合合并：
实线是已有边，虚线是要加的边。很明显并查集不能将1和3所在的集合合并。
正解是一个看似很暴力的解法，同样将所有可能在最短路上的边都提取出来，建一个新图，与1在同一个集合的点最最短路不变。维护方式为：给每个点记一个入度，入度为0就与1不连通（除1号点）。如果某个点的入度为0，再将从它出发的边都删除，维护其他点的入度，有时可能还需递归删除。
这个做法看似很暴力，但每条边只会被删一次，所以复杂度为\(\Theta(n+m)\)。
T2
题目大意
夕立是一个总喜欢说poi~poi~的女孩子。
有一天，夕立捡到一张写着\(n(n<=10^7)\)个大写字母的纸条。她发现这些字母都属于POI中的某一个。
出于对poi的热爱，夕立定义这样一个字符串的优美度为字符串中恰好组成POI的子序列个数。
她本想让你计算这个字符串的优美度，但仔细一想，这个问题太简单了。于是她提出了这样的问题：在原字符串中插入一个大写字母后最大的优美度是多少（可以插在开头和结尾或任意两个原有字母的中间）？
sol
先考虑计算原字符串的优美度，依次考虑每个字符，设\(f_1\)为出现了多少个P，\(f_2\)为出现了多少个PO，\(f_3\)为出现了多少个POI，每出现一个P，\(f_1\)++，出现O，\(f_2\)+=\(f_1\)，出现I，\(f_3\)+=\(f_2\)。最终答案为\(f_3\)。
很容易发现P一定插在最前，I一定插在最后，先把这种情况算出来。对于O，设\(pre_i\)为i之前有多少个P，\(las_i\)为i之后有多少个I,如果O插在第i个字符之后，优美度为原串的优美度加\(pre_i\times las_i\)，\(\Theta(n)\)扫一遍即可。
解法应该到此为止，可串长有\(10^7\)，优美度会爆long long，且不能用__int128，还要手写高精度。
T3
题目大意
长门和她的妹妹陆奥在玩臆象石。
臆象石是一种神奇的石头，每一块臆象石上都写着两个数字a[i]和b[i]。如果相邻的两块臆象石i和i+1满足gcd(a[i],a[i+1])>1，它们将可以融合在一起，并转化为b[i]+b[i+1]单位的石油（转化后两块石头都会消失，具体的转化方式参见样例2及其解释）。
由于臆象石的数量过多，长门使用了钞能力使得a[i]满足一些奇妙的性质。
请你帮助两姐妹确定转化顺序以获取尽可能多的石油。
臆象石数目为\(n,n<=6000\)。
样例2
4
2 1
3 1
3 1
2 1
4
样例2解释：先删去第二和第三颗石子，使得第一和第四颗石子相邻。最后删去第一和第四颗石子
sol
我开始想了一个\(\Theta(n^3)\)的算法，设\(f(i,j)\)为i到j能否消掉，算出这个后就好写了，转移为\(f(i,j)=(f(i+1,j-1)\&\&gcd(a[i],a[j])>1)||(f(i,k)\&\&f(k+1,j),i<=k<j)\)。
正解将这个转移进行了优化，从右往左依次计算，对于每个i，若\(f(i+1,j-1)\&\&gcd(a[i],a[j])>1\)，则i向j连一条边，连完后从i跑dfs，若能到达j，则\(f(i,j)=1\)，题目中的特殊性质为满足\(f(i+1,j-1)\&\&gcd(a[i],a[j])>1\)的情况为\(c\times n\)，\(c\)为不大常数，则时间复杂度为\(\Theta(n^2*c+n^2log(n))\)，前面是n次dfs，后面是连边的复杂度。
