多项式理论 PartⅠ- 浅谈多项式牛顿迭代、多项式取模以及 Bostan-Mori 算法

一、多项式牛顿迭代
二、多项式取模
三、Bostan-Mori 算法

一、多项式牛顿迭代

适用于解决给定满足一定条件的 $F$ ，求多项式 $G$ 使得 $F (G (x)) \equiv 0$ 的问题。

已知 $F (G (x)) \equiv 0 (\mod x^{N})$ ，其中 $F$ 可以泰勒展开且 $G$ 常数项容易求得，则可以利用如下方式由 $G mod x^{n}$ 推出 $G mod x^{2 n}$ ，进而迭代出 $G$ ：

设 $G_{1} \equiv G (\mod x^{n}), G_{2} \equiv G (\mod x^{2 n})$ ，则 $G_{2} - G_{1} \equiv 0 (\mod x^{n})$ ，故 $(G_{2} - G_{1})^{2} \equiv 0 (\mod x^{2 n})$ 。
由泰勒展开公式知 $F (G_{2} (x)) \equiv \sum_{n = 0} \frac{F^{(n)} (G_{1} (x))}{n!} {(G_{2} (x) - G_{1} (x))}^{n} (\mod x^{2 n})$ ，其中 $n \geq 2$ 时对应项取余后为 $0$ 。
所以可以得到 $F (G_{2} (x)) \equiv F (G_{1} (x)) + F^{'} (G_{1} (x)) (G_{2} (x) - G_{1} (x)) (\mod x^{2 n})$ ，由 $F (G_{2} (x)) \equiv 0$ 可以得到：

G_{2} (x) \equiv G_{1} (x) - \frac{F (G_{1} (x))}{F^{'} (G_{1} (x))}

即可用其求出与 $F$ 同阶且满足要求的 $G$ ，对常见的 $F$ 时间复杂度为 $O (n \log n)$ ，其中 $n$ 为 $F$ 的阶数。

二、多项式取模

适用于解决已知多项式 $F (x), G (x)$ ，求 $Q (x), R (x)$ 使得 $F (x) = G (x) \cdot Q (x) + R (x)$ 的问题，其中 $R$ 的阶数小于 $G$ 。

只需求出 $Q$ 后即可简易求出 $R$ ，令 $n, m$ 分别为 $F, G$ 的阶数，并强制让 $R$ 的阶数为 $m - 1$ ，并记 $F_{R}$ 表示 $F$ 系数翻转后的结果，则 $F_{R} (x) = x^{n} F (\frac{1}{x})$ ，又由 $F (\frac{1}{x}) = G (\frac{1}{x}) \cdot Q (\frac{1}{x}) + R (\frac{1}{x})$ 有 $F_{R} (x) = G_{R} (x) \cdot Q_{R} (x) + x^{n - m + 1} R_{R} (x)$ ，故 $Q_{R} \equiv F_{R} (x) \cdot G_{R}^{- 1} (x) (\mod x^{n - m + 1})$ ，至此问题已经解决，时间复杂度为 $O (n \log n)$ （视 $n, m$ 同阶）。

三、Bostan-Mori 算法

适用于给定多项式 $F, G$ 和所求项数 $n$ ，求 $[x^{n}] \frac{F (x)}{G (x)}$ 的值。

有 $[x^{n}] \frac{F (x)}{G (x)} = [x^{n}] \frac{F (x) G (- x)}{G (x) G (- x)}$ ，观察到 $G (x) G (- x)$ 只在偶数次幂有值，故将 $F (x) G (- x)$ 拆成 $P (x^{2}) + x Q (x^{2})$ 的形式，并设 $G (x) G (- x) = T (x^{2})$ ，则所求为 $[x^{n}] \frac{P (x^{2}) + x Q (x^{2})}{T (x^{2})}$ ，根据 $n$ 的奇偶性递归计算即可，时间复杂度为 $O (m \log n \log m)$ ，其中 $m = \deg F$ 。