dsu on tree 学习笔记

适用范围

1. 支持离线处理
2. 每个询问都是针对某棵子树
3. 没有修改操作

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原理

• 在递归遍历一整棵树并更新每棵子树产生的影响时，正常情况下我们每次递归完一棵子树都要将其撤销，否则会对其兄弟节点造成干扰。
• 而 \(dsu\) \(on\) \(tree\) 仅利用了一个性质，就是在 dfs 的过程中，最后遍历的那个不需要撤销，因为它的兄弟节点已经遍历完了，这时候我们就可以直接让父节点继承这个点的信息。
• 因为最后的子树不需要撤销，所以我们想要让其越大越好，也就是撤销的越少越好，这样会保证我们的时间效率尽可能地高
• 核心也就有了：利用树链剖分的性质，最后递归重儿子且不撤销，优先遍历轻儿子并撤销，父节点继承重儿子的信息

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时间复杂度

• 大部分人看到这里都会觉得：这有什么区别吗？不就少搞一个重儿子吗。然而事实上是，它将 \(O(n^2)\) 的效率变成了 \(O(nlogn)\) 的效率
• 依据树链剖分的性质，一个子树内轻边的数量保证不会超过总边数的一半，考虑最坏的情况，每次 dfs 到一个新节点，那么轻边数就会减半，最后遍历完后就只有了 \(logn\) 条轻边

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例题

T1 树上数颜色
T2 CF600E Lomsat gelral
T3 射手座之日

这两题都是模板题，这里放上 \(T1\) 的代码作为板子用以参考

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define R register
#define N 100010
using namespace std;
inline int read(){
	int x = 0,f = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,head[N],siz[N],f[N],son[N],cnt[N],c[N];
long long ans[N];
struct edge{
	int to,next;
}e[N<<1];
int len;
void addedge(int u,int v){
	e[++len].to = v;
	e[len].next = head[u];
	head[u] = len;
}
void dfs(int u,int fa){//求重儿子
	siz[u] = 1;
	f[u] = fa;
	for(R int i = head[u];i;i = e[i].next){
		int v = e[i].to;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		siz[u] += siz[v];
		if(siz[v]>siz[son[u]])son[u] = v;
	}
}
void update(int u,int val,int p){//统计答案，p表示需要跳过的点
	cnt[c[u]] += val;
	if(val==1&&cnt[c[u]]==1)sum++;
	if(val==-1&&cnt[c[u]]==0)sum--;
	for(R int i = head[u];i;i = e[i].next){
		int v = e[i].to;
		if(v==f[u]||v==p)continue;
		update(v,val,p);
	}
}
void dsu(int u,int opt){//opt表示撤销or不撤销对答案的影响
	for(R int i = head[u];i;i = e[i].next){
		int v = e[i].to;
		if(v==f[u]||v==son[u])continue;//先递归轻儿子
		dsu(v,0);
	}
	if(son[u])dsu(son[u],1);//最后递归重儿子
	update(u,1,son[u]);//统计轻儿子的答案，记得跳过重儿子
	ans[u] = sum;
	if(opt==0){//撤销影响
		update(u,-1,0);
		sum = 0;
	}
}

int main(){
	n = read();
	for(R int i = 1;i < n;i++){
		int u = read(),v = read();
		addedge(u,v),addedge(v,u);
	}
	for(R int i = 1;i <= n;i++)c[i] = read();
	dfs(1,0);
	dsu(1,0);
	m = read();
	for(R int i = 1;i <= m;i++){
		int x = read();
		printf("%lld\n",ans[x]);
	}
	return 0;
}

参考资料

Hypoc_
自为风月马前卒
The End