消失之物「分治+背包」

消失之物「分治+背包」

题目描述

ftiasch 有 \(N\) 个物品, 体积分别是 \(W_1, W_2, ..., W_N\)。 由于她的疏忽, 第 \(i\) 个物品丢失了。 “要使用剩下的 \(N - 1\) 物品装满容积为 \(x\) 的背包，有几种方法呢？” -- 这是经典的问题了。她把答案记为 \(Count(i, x)\) ，想要得到所有 \(1 <= i <= N, 1 <= x <= M\) 的 \(Count(i, x)\) 表格。

输入格式

第 \(1\) 行：两个整数 \(N (1 ≤ N ≤ 2 × 10^3)\) 和 \(M (1 ≤ M ≤ 2 × 10^3)\)，物品的数量和最大的容积。

第 \(2\) 行： \(N\) 个整数 \(W_1, W_2, ..., W_N\), 物品的体积。

输出格式

一个 \(N × M\) 的矩阵， \(Count(i, x)\) 的末位数字

样例

样例输入

3 2
1 1 2

样例输出

11
11
21

思路分析

• 直接暴力跑一个背包能拿70～80分(甚至完全可以用背包水过)
• 不难发现，在每一次更新不能拿的物品时，其它可以拿的是有大量的重复计算的，所以考虑将其保留，直接使用
• 这时候就可以用分治了，每次把一个区间分成两部分，一部分不动，另一部分去选不能拿的
• 另外要注意，每一次更新答案之前要撤销对另一半答案的更新
• 最后会分成一个长得像线段树的东西，每个相当于叶子结点的就代表该点不能拿，一共有 \(log(n)\) 层

详见代码

\(Code\)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 20200
#define R register
using namespace std;
inline int read(){
	int x = 0,f = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,a[N],f[20][N];
void solve(int l,int r,int dep){ //dep表示当前分治树的深度
	if(l==r){
		for(R int i = 1;i <= m;i++)printf("%d",f[dep][i]);
		puts("");
		return;
	}
	int mid = (l+r)>>1;
	for(R int i = m;i >= 0;i--)f[dep+1][i] = f[dep][i];
	for(R int i = mid+1;i <= r;i++){ //右半部分全部都能拿，直接更新即可
		for(R int j = m;j >= 0;j--){
			f[dep+1][j] = (f[dep+1][j]+f[dep+1][j-a[i]])%10;
		}
	}
	solve(l,mid,dep+1); //左半部分有不能拿的，递归解决
	for(R int i = m;i >= 0;i--)f[dep+1][i] = f[dep][i]; //反过来再处理一下，在此之前要撤销
	for(R int i = l;i <= mid;i++){
		for(R int j = m;j >= 0;j--){
			f[dep+1][j] = (f[dep+1][j]+f[dep+1][j-a[i]])%10;
		}
	}
	solve(mid+1,r,dep+1);//同上
}
int main(){
	n = read(),m = read();
	for(R int i = 1;i <= n;i++)a[i] = read();
	f[0][0] = 1;
	solve(1,n,0);
	return 0;
}