火柴排队「逆序对」
火柴排队「逆序对」
题目描述
涵涵有两盒火柴，每盒装有 \(n\) 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为：\(\sum (a_i-b_i)^2\)
其中 \(a_{i}\) 表示第一列火柴中第 \(i\)个火柴的高度，\(b_i\) 表示第二列火柴中第 \(i\) 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 \(10^8-3\) 取模的结果。
输入格式
共三行，第一行包含一个整数 \(n\)，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 \(n\) 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 \(n\) 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。
输出格式
一个整数，表示最少交换次数对 \(10^8-3\) 取模的结果。
输入输出样例
输入 #1
4
2 3 1 4
3 2 1 4
输出 #1
1
输入 #2
4
1 3 4 2
1 7 2 4
输出 #2
2
思路分析
- 虽然题目要求的是让我们求方案数，但是首先我们得知道什么样的情况下两个火柴的排列顺序是符合题目条件的。
- 怎么让\(\sum(a_i-b_i)^2\)最小？我们试着将其展开，就成了\(\sum a_i^2\)\(+\)\(b_i^2\)\(-2a_ib_i\)，\(\sum a_i^2\)\(+\)\(b_i^2\)是一个定值，所以我们要求\(\sum -2a_ib_i\)的最小值，即求\(\sum 2a_ib_i\)的最大值
- 我们当然要优先考虑把a序列和b序列相对本序列的高度相同的放在一起，用
小学数学反证法证明：若\(a<b\),\(c<d\) ，则\(ac+bd\)一定是最大的。如果不是，说明\(ad+bc\)更大，即\(ac+bd<ad+bc\)
\[则 ac-ad < bc -bd
\]
\[即 a > b
\]
- 到这里显然就已经产生了冲突，所以要保持两个序列排名相同的放在相同位置
- 既然要维护相同位置，那么以一个序列为关键字对另一个序列排序即可。已知两个序列\(a，b\)我们新建一个序列\(c\)，首先将\(a\) \(b\)根据高度排序，然后以原位置为关键字处理\(c\)，即令\(c[a[i].id] = b[i].id\)？为什么要这么处理，因为我们讲两个序列排序好了以后，\(i\)位置相对高度是一样的，\(id\)存的是在排序之前的位置，如果之前位置相同那么就有\(c[i] = i\)，而偏离的位置就成了一个逆序对，只需求出有多少个逆序对就可找出要交换多少次。
- 众所周之，逆序对常见的有两种做法，一个归并排序，一个树状数组。虽然时间效率都是\(O(nlogn)\)，但归并排序算法貌似更优，但这里使用树状数组。
因为我是根据树状数组标签找到的这题来练树状数组的 - 不懂的戳这里：树状数组求逆序对
Code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 500010
using namespace std;
inline int read(){
int x = 0,f = 1;
char ch = getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
return x*f;
}
const int mod = 99999997;
int n,c[N],ans,tree[N];
struct node{
int num,id;
}a[N],b[N];
bool cmp(node a,node b){
return a.num < b.num;
}
int lowbit(int x){
return x & (-x);
}
void update(int x,int val){
while(x <= n){
tree[x] += val;
x += lowbit(x);
}
}
int getsum(int x){
int res = 0;
while(x > 0){
res += tree[x];
x -= lowbit(x);
}
return res;
}
int main(){
n = read();
for(int i = 1;i <= n;i++){
a[i].num = read();
a[i].id = i;
}
for(int i = 1;i <= n;i++){
b[i].num = read();
b[i].id = i;
}
sort(a+1,a+1+n,cmp);
sort(b+1,b+1+n,cmp);
for(int i = 1;i <= n;i++){
c[a[i].id] = b[i].id;
}
for(int i = 1;i <= n;i++){ //树状数组求逆序对
update(c[i],1);
ans = (ans+i-getsum(c[i]))%mod;
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
