[解题记录] NOIP2015 提高组 子串

NOIP2015 提高组 子串#

题意简述#

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有两个仅包含小写英文字母的字符串 $A$ 和 $B$。

现在要从字符串 $A$ 中取出 $k$ 个互不重叠的非空子串，然后依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 $B$ 相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

解题思路#

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为了保证无后效性，用 $i$ 表示到了 $A$ 的第一个字符，联想到 NOI Online 2022 T3 字符串，用 $j$ 表示成功匹配了几个字符，用 $k$ 表示使用了几个字串，但是发现这样不能轻松的转移，于是我们再加上一维 $l$，表示第 $i$ 位是否选择

可以得到状态转移方程：

1. 如果 $a_{i}=b_{j}$，

   则 $f_{i, j, k, 0} = f_{i-1, j, k, 0}+f_{i-1, j, k, 1}$，$f_{i,j,k,1}=f_{i-1,j-1,k,1}+f_{i-1,j-1,k-1,0}+f_{i-1,j-1,k-1,1}$

   分别表示不选和选，其中选又有三种情况，如果 $i-1$ 选了，则可以新开一个或者沿用之前的字串，如果 $i-1$ 没有选，那么只能新开一个

2. 否则，

   $f_{i,j,k,1}=0$，不能选还要强行选，那么方案数归零

   $f_{i,j,k,0}=f_{i-1,j,k,1}+f_{i-1,j,k,0}$

空间复杂度是 $\mathcal O(nmk)$，会爆空间，但是第一位可以用滚动数组优化

初始化为 $f_{0,0,0,0} = f_{1,0,0,0} =1$，因为后面三个为零的清况不会被更新到，但是又能算上一个方案

Code#

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e3 + 10, M = 2e2 + 10, mod = 1e9 + 7;
int f[2][M][M][2], n, m, c;
char a[N], b[M];
int main() {
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &c);
    scanf("%s%s", a + 1, b + 1);
    f[0][0][0][0] = f[1][0][0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            for (int k = 1; k <= c; ++k) {
                if (a[i] == b[j]) {
                    f[i & 1][j][k][0] = (f[(i - 1) & 1][j][k][0] + f[(i - 1) & 1][j][k][1]) % mod;
                    f[i & 1][j][k][1] = (f[(i - 1) & 1][j - 1][k][1] + (f[(i - 1) & 1][j - 1][k - 1][0] + f[(i - 1) & 1][j - 1][k - 1][1]) % mod) % mod;
                }
                else {
                    f[i & 1][j][k][1] = 0;
                    f[i & 1][j][k][0] = (f[(i - 1) & 1][j][k][1] + f[(i - 1) & 1][j][k][0]) % mod;
                }
            }
    printf("%d\n", (f[n & 1][m][c][1] + f[n & 1][m][c][0]) % mod);
    return 0;
}