前缀、中缀、后缀表达式及其求值
它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。
比如：
(4 + 5) × 6- 7 就是中缀表达式
- × + 4567 前缀表达式
45 + 6×7 - 后缀表达式
中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。
前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。
前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 4567 ”：
(1) 从右至左扫描，将7、6、5、4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和5（4为栈顶元素，5为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出4+5的值，得9，再将9入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出9和6，计算出9×6=54，将54入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出54-7的值，即47，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。
将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：
|
扫描到的元素 |
S2(栈底->栈顶) |
S1 (栈底->栈顶) |
说明 |
|
5 |
5 |
空 |
数字，直接入栈 |
|
- |
5 |
- |
S1为空，运算符直接入栈 |
|
) |
5 |
- ) |
右括号直接入栈 |
|
4 |
5 4 |
- ) |
数字直接入栈 |
|
× |
5 4 |
- ) × |
S1栈顶是右括号，直接入栈 |
|
) |
5 4 |
- ) × ) |
右括号直接入栈 |
|
3 |
5 4 3 |
- ) × ) |
数字 |
|
+ |
5 4 3 |
- ) × ) + |
S1栈顶是右括号，直接入栈 |
|
2 |
5 4 3 2 |
- ) × ) + |
数字 |
|
( |
5 4 3 2 + |
- ) × |
左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
|
( |
5 4 3 2 + × |
- |
同上 |
|
+ |
5 4 3 2 + × |
- + |
优先级与-相同，入栈 |
|
1 |
5 4 3 2 + × 1 |
- + |
数字 |
|
到达最左端 |
5 4 3 2 + × 1 + - |
空 |
S1中剩余的运算符 |
因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。
后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。
后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
|
扫描到的元素 |
S2(栈底->栈顶) |
S1 (栈底->栈顶) |
说明 |
|
1 |
1 |
空 |
数字，直接入栈 |
|
+ |
1 |
+ |
S1为空，运算符直接入栈 |
|
( |
1 |
+ ( |
左括号，直接入栈 |
|
( |
1 |
+ ( ( |
同上 |
|
2 |
1 2 |
+ ( ( |
数字 |
|
+ |
1 2 |
+ ( ( + |
S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
|
3 |
1 2 3 |
+ ( ( + |
数字 |
|
) |
1 2 3 + |
+ ( |
右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
|
× |
1 2 3 + |
+ ( × |
S1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
|
4 |
1 2 3 + 4 |
+ ( × |
数字 |
|
) |
1 2 3 + 4 × |
+ |
右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
|
- |
1 2 3 + 4 × + |
- |
-与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
|
5 |
1 2 3 + 4 × + 5 |
- |
数字 |
|
到达最右端 |
1 2 3 + 4 × + 5 - |
空 |
S1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）.
