高等数学(8) 函数的连续性与间断点

 

一、函数的连续性

增量

 

变量u:初值u1 -> 终值u2

增量Δu: Δu = u2-u1

正的增量Δu:u1变到u2时是增大的

负的增量Δu:u1变到u2时是减小的

 

函数的增量

 

 

即:当因变量增量随自变量增量趋于0，称为连续。

 

 

单侧连续

·左连续:如果limx->x0- f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0-) = f(x0)

·右连续:如果limx->x0+f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0+) = f(x0)

 

 

·定理 函数f(x)在x0处连续=函数f(x)在x0处既左连续又右连续

 

 

连续函数

定义:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数

或者说函数在该区间上连续

 

注1 如果区间包括端点,那么函数在右端点处左连续，在左端点处右连续

注2 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线

 

例题

例 证明函数y = sinx 在区间(-∞,+∞)内连续

 

二、函数的间断点

 

第一类间断点(左右极限都存在)

 

 跳跃间断点

·如果f(x)在x0处左右极限都存在

·但f(x0-0)≠f(x0+0)

则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点

 

讨论f(x) = { -x,x<=0   1+x,x>0} 在x=0处的连续性

 

 

可去间断点

·如果f(x)在x0处极限存在

·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在点x0处无定义

 

则称点x0为函数f(x)的可去间断点

注意

·注1:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点

·注2:跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点

 

第二类间断点

 

·如果f(x)在x0处左右极限至少有一个不存在

·则称x0为函数f(x)的第二类间断点

 

例题1

讨论f(x) = { 1/x (x>0  x(x<=0 ) 在x=0处的连续性

 

 

 

四、章小结

 

·函数在一点连续必须满足的三个条件；

 1.在这一点有定义

 2.在这一点极限是存在的

 3.极限存在的情况下 还要等于在这一点的函数值

 

·区间上的连续函数;

 函数在区间上的任意一点都连续,我们就说函数在区间上是连续的

 

·间断点的分类与判别;

 间断点{

       第一类间断点:可去型，跳跃型 (左右极限都存在

       第二类间断点:无穷型, 振荡型 (至少有一个极限不存在

}