【BZOJ 1022】 [SHOI2008]小约翰的游戏John（Anti_SG）

Description

小约翰经常和他的哥哥玩一个非常有趣的游戏：桌子上有n堆石子，小约翰和他的哥哥轮流取石子，每个人取
的时候，可以随意选择一堆石子，在这堆石子中取走任意多的石子，但不能一粒石子也不取，我们规定取到最后一
粒石子的人算输。小约翰相当固执，他坚持认为先取的人有很大的优势，所以他总是先取石子，而他的哥哥就聪明
多了，他从来没有在游戏中犯过错误。小约翰一怒之前请你来做他的参谋。自然，你应该先写一个程序，预测一下
谁将获得游戏的胜利。

Input

本题的输入由多组数据组成第一行包括一个整数T，表示输入总共有T组数据（T≤500）。每组数据的第一行包
括一个整数N（N≤50），表示共有N堆石子，接下来有N个不超过5000的整数，分别表示每堆石子的数目。

Output

每组数据的输出占一行，每行输出一个单词。如果约翰能赢得比赛，则输出“John”，否则输出“Brother”
，请注意单词的大小写。

Sample Input

2
3
3 5 1
1
1

Sample Output

John
Brother

前言

定义\(mex\)函数的值为不属于集合\(S\)中的最小非负整数，即：

\[mex(S)=min\lbrace x \rbrace(x\notin S,x \in N) \]

例如\(mex(\lbrace 0,2,4\rbrace)=1\)。 对于状态\(x\)和它的所有\(k\)个后继状态\(y_1,y_2,...,y_n\)，定义\(SG\)函数：

\[SG(x)=mex\lbrace SG (y_1),SG(y_2),...SG(y_n)\rbrace \]

有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：

\[SG(G)=SG(G_1)\bigoplus SG(G_2)\bigoplus ...\bigoplus SG(G_n) \]

解题报告

我们先考虑剩下石堆石子数都为1的情况。当石堆的个数为奇数时，此时处于必输态(SG值=奇数个1异或=1)，反则当石堆的个数为偶数时处于必赢态(SG值=0)。
如果剩下石堆石子数存在至少两个石堆大于1的情况，如果此时SG值不等于0，由于\(SG(G)=SG(G_1)\bigoplus SG(G_2)\bigoplus ...\bigoplus SG(G_n)\)，设\(SG(G)\)的二进制表示下最高位的1在第k位，你们至少存在一堆石子\(SG(G_i)\),它的第k位是1。显然\(SG(G_i) \bigoplus x<SG(G_i)\)，我们从第\(i\)堆取走若干石子,相当于\(SG(G_i) \bigoplus x\)，而\(x \bigoplus x=0\)。所以我们可以通过在一个石子堆里取走若干石子将总的\(SG\)值变为0。
如果只有一个石堆大于1，那么先手总可以让全1的石堆的个数变为奇数个。

结论

1、当剩下石堆石子数都为1的时，总SG值等于0必胜。
2、当剩下石堆石头数有一个大于1的时候，总SG值大于1必胜。

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 2e5+10;
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        int n,x,ans=0;
        cin>>n;
        int flag=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            cin>>x;
            ans^=x;
            if(x!=1)
                flag=0;
        }
        if((flag&&!ans)||(!flag&&ans))
        {
            printf("John\n");
        }
        else
            printf("Brother\n");
    }
    return 0;
}

参考资料

https://wenku.baidu.com/view/25540742a8956bec0975e3a8.html
https://oi-wiki.org/math/game-theory/