2021 年 10月随笔档案 - I_N_V

摘要：####题面 ###题解首先考虑

f_{0} (n)

$f_0(n)$ 不难发现

f_{0} (n) = f_{0} (p_{1}^{α 1} p_{2}^{α 2} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{α k}) = 2 k

$f_0(n)=f_0(p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}···p_k^{\alpha k})=2k$ 对于互质的两个数p,q 不难发现

f_{0} (p q) = f_{0} (p) f_{0} (q) = 2 p + q

$f_0(pq)=f_0(p)f_0(q)=2{p+q}$ 则

f_{0} (n)

$f_0(n)$ 为积阅读全文

posted @ 2021-10-31 22:39 I_N_V 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

积性函数

摘要：##定义 #####如果

f : N \to R

$f:N\rightarrow R$ ,满足对任意互质的正整数

p, q

$p,q$ ,都有

f (q p) = f (q) f (p)

$f(qp)=f(q)f(p)$ ,则称f(x)为积性函数 ####例子：

1 (n) = 1

$1(n)=1$

i d (n) = n

$id(n)=n$ \(\epsilon(n)=[n=1],\epsilon(1)=1,\epsil 阅读全文

posted @ 2021-10-28 20:51 I_N_V 阅读(209) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Mike and Foam

摘要：###题目描述 ###题解对于每次询问可以对新加入的数或移除的数进行单独贡献计算假设新加入或移除的数为

x = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{α_{k}}

$x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}···p_k^{\alpha_k}$ 显然每个质数的系数无关紧要，所以对一新加入\移除的数只考虑已存在的数中是否有$p_1,p_2, 阅读全文

posted @ 2021-10-25 21:18 I_N_V 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑

第二类斯特林数

摘要：###问题描述有n个互不相同的球，放到k个互不相同的盒子里，每个盒子里至少要有一个球，求方案数 #####递推式方式：

f [n] [k] = k * f [n - 1] [k] + f [n - 1] [k - 1]

$f[n][k]=k*f[n-1][k]+f[n-1][k-1]$

f [n] [k] 记 为 第 二 类 斯 特 林 数 ， 记 为 S_{2} (n, k)

$f[n][k]记为第二类斯特林数，记为S_2(n,k)$ 时间复杂度为

O (k n)

$O(kn)$ #####用容阅读全文

posted @ 2021-10-24 22:58 I_N_V 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[CQOI2012]局部极小值

摘要：###题目描述 ###题解首先可以知道一个矩阵最多只能有8个特殊点，因此这8个点的状态很好表示，并且n,m数据范围很小，可以考虑用状压dp来计算因为局部极小值为周围最小的，可以考虑从小到大填数设dp[i][j]为填了前i个数，特殊点状态为j的方案数(j的二进制第i位表示第i个特殊点是否填上) 阅读全文

posted @ 2021-10-24 00:11 I_N_V 阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

容斥原理

摘要：##定理设S是一个有限集，

A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}

$A_1,A_2,···,A_n$ 是S的n个子集，则 $|\bigcup_{i=1}^nA_i|=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\cdot\sum_{1 \leq j_1< j_2···< j_i\leq n}|\bigcap_{k=1}^{i}A_{j_k 阅读全文

posted @ 2021-10-21 21:53 I_N_V 阅读(135) 评论(0) 推荐(0) 编辑

排列和组合

摘要：

(\binom{n}{m}) = \frac{n!}{(n - m)! m!}

${n \choose m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}$

(\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m - 1}) + (\binom{n - 1}{m})

${n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}$ 取n

(\binom{n - 1}{m - 1})

${n-1 \choose m-1}$ 不取n

(\binom{n - 1}{m})

${n-1 \choose m}$ \({n \choos 阅读全文

posted @ 2021-10-16 19:12 I_N_V 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

同余方程

摘要：###问题描述方程组：

x \equiv a_{1} (m o d m_{1})

$x \equiv a_1 ( mod\:m_1)$

x \equiv a_{2} (m o d m_{2})

$x \equiv a_2(mod\:m_2)$ ····

x \equiv a_{k} (m o d m_{k})

$x \equiv a_k(mod\: m_k)$ 求解x ###求解首先考虑前两个式子 \(x=m_1\cdot y_1+a_1=m_2\cdo 阅读全文

posted @ 2021-10-10 13:59 I_N_V 阅读(212) 评论(0) 推荐(0) 编辑

逆元、欧拉定理

摘要：##同余

a

$a$ %

m = b

$m=b$ %

m 表 示 为 a \equiv b (m o d m)

$m表示为a\equiv b(mod m)$ ##逆元

a, b \in Z_{m}, a b = 1, 则 称 b 是 a 的 逆 元 ， 计 作 a^{- 1}

$a,b \in Z_m,ab=1,则称b是a的逆元，计作a^{-1}$ ###Exgcd求法 \(ab=km+1 \rightarrow ab-mk=1 (用exgcd的形式ax+by=1可求)\ 阅读全文

posted @ 2021-10-09 12:58 I_N_V 阅读(162) 评论(0) 推荐(0) 编辑

筛质数

摘要：##埃式筛具体思路：用质数把质数的倍数筛掉时间复杂度：

(p_{i} 为 质 数) Σ_{p_{i}} \frac{n}{p_{i}} = O (n l o g (l o g (n)))

$(p_i为质数)\Sigma_{p_i}\frac{n}{p_i}=O(nlog(log(n)))$ （根据Mertens’ 2nd theorem) ##欧拉筛具体思路：每个合数只被其最小的质因子筛掉实现： void getpri 阅读全文

posted @ 2021-10-02 17:03 I_N_V 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

GCD与EXGCD

摘要：##GCD

g c d (a, b) \(为 a 和 b 的 最 大 公 因 数 ， 也 记 为 \) (a, b)

$gcd(a,b)$为a和b的最大公因数，也记为$(a,b)$ 一般用欧几里得算法求解 int gcd(int a,int b){ if(b==0)return a; return gcd(b,a%b); } ####证明(a,b)=(b,c)：设a=bq+c,d为(a,b) \( 阅读全文

posted @ 2021-10-01 19:20 I_N_V 阅读(89) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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