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题目描述

题解

由题可知\(1\leq i \leq |S|-|T|+1\)
首先转化下条件\(|i+j-1-p|\leq k, S[p]=T[j]\)
其实就是
对于每个\(T[j](1\leq j \leq |T|)，对应着S[i+j-1]的前后各k个是否存在S[p]=T[j](|i+j-1-p|\leq k)\)
也就是判断
\(\sum_{j=1}^{|T|}[T_j==S_p]\cdot [|i+j-1-p|\leq k] 的和是否=|T|\)

因为只有四个单词，分别讨论，以下以字符A来讨论，其他类似
设\(f(i,A)=\sum_{j=1}^{|T|}[T_j=='A']\cdot[S_p=='A']\cdot[|i+j-1-p|\leq k]\)
只要\(f(i,A)+f(i,G)+f(i,C)+f(i,T)=|T|, i就满足条件\)

但计算\(f(i,A)\)的条件还是比较复杂
首先考虑一个字符A
对于字符串\(S=\{**A***A***A**\} (*表示非A的其他字符)\)
转化为\(S'=\{*AAA*AAA*AAA*\} (假设k=1,只是描述下转化过程)\)
那么\(f(i,A)=\sum_{j=1}^{|T|}[T_j=='A']\cdot[S'_{i+j-1}=='A']\)
考虑把S'翻转下，就会惊奇发现上面式子成了一个卷积形式
\(f(i,A)=\sum_{j=1}^{|T|} [T_j=='A'] \cdot [S'_{|S|-i-j+2}=='A']\)
设多项式
\(T(x)=\sum_{j=1}^{|T|} [T_j=='A']x^j\)
\(S(x)=\sum_{i=1}^{|S|} [S'_{|S|-i+1}]=='A'] x^i\)
\([x^k]T(x)S(x)=\sum_{j=1}^{|T|}[T_j=='A'][S'_{|S|-(k-j)}=='A']\)
\(f(i,A)=[x^{|S|-i+2}]T(x)S(x)\)
以此类推出其他三个字符的结果，最后判断下就行

点击查看代码

#include<functional>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<string>
#include<complex>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<deque>
#define ll long long 
using namespace std;
const int maxn=2e6+101;
const int MOD=100007;
const int inf=2147483647;
const double pi=acos(-1);
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
typedef complex<double> cd;
int n,m,nn,k,book[maxn],rev[maxn];
char s[maxn],t[maxn];
void get(int bit){
    for(int i=0;i<(1<<bit);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
}
void dft(cd *u,int val){
    for(int i=0;i<nn;i++)if(i<rev[i])swap(u[i],u[rev[i]]);
    for(int i=1;i<nn;i<<=1){
        cd wn(cos(pi/i),val*sin(pi/i));
        for(int j=0;j<nn;j+=(i<<1)){
            cd w(1,0);
            for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
                cd x=u[j+k],y=w*u[j+k+i];
                u[j+k]=x+y;u[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    } 
    return ;
}
cd T[maxn],S[maxn],f[5][maxn];
void solve(char ss){
    int now;
    memset(book,0,sizeof(int)*(n+2));
    memset(T,0,sizeof(cd)*(nn+2));
    memset(S,0,sizeof(cd)*(nn+2));
    if(ss=='A')now=1;
    else if(ss=='G')now=2;
    else if(ss=='C')now=3;
    else now=4;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(s[i]==ss){
            book[max(0,i+1-k-1)]--;book[min(n,i+1+k)]++;  //差分求i-k~i+k全为字符ss
        }
    }
    for(int i=0;i<m;i++){if(t[i]==ss)T[i+1]=1;}
    for(int i=0;i<n;i++){
        book[n-i]+=book[n-i+1];
        if(book[n-i])S[i+1]=1;
    }
    dft(T,1);dft(S,1);
    for(int i=0;i<nn;i++)f[now][i]=T[i]*S[i];
    dft(f[now],-1);
    return ;
}
int main(){
    n=read();m=read();k=read();cin>>s>>t;
    int len=0;
    for(nn=1;nn<=n+m;nn<<=1)len++;get(len);
    solve('A');solve('G');solve('C');solve('T');
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n-m+1;i++){
        ll f1=(ll)(f[1][n-i+2].real()/nn+0.5);
        ll f2=(ll)(f[2][n-i+2].real()/nn+0.5);
        ll f3=(ll)(f[3][n-i+2].real()/nn+0.5);
        ll f4=(ll)(f[4][n-i+2].real()/nn+0.5);
        if(f1+f2+f3+f4==m)ans++;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}