莫比乌斯反演
铺垫
已知\(g(n)\)的前缀和\(f(n)=\sum_{I=1}^ng(i)\),则可以通过f来反求g,\(g(n)=f(n)-f(n-1)\)
已知\(g(n)\)的因数和\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\),如何通过f来反求g
\(g(n)=g(p_1^{\alpha1}p_2^{\alpha2}p_3^{\alpha3}···p_k^{\alpha k})=\sum_{S\subseteq\{1,2,···,k\}}(-1)^{|s|}f(p_1^{\alpha1-i_1}p_2^{\alpha2-i_2}···p_k^{\alpha k-i_k})\)
\((j\in S \quad i_j=1 否则i_j=0)\)
定理(莫比乌斯反演1)
设\(f:N\rightarrow R \:\:\:\:\:g:N\rightarrow R\)是两个函数
则
\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\)
\(g(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})f(d)\) \(\quad\quad\mu(n)=
\begin{cases}
(-1)^k& \text{if n没有幂次大于平方的质因子，且有k个质因子}\\
0& \text{if n有大于平方因子}
\end{cases}\)
定理(莫比乌斯反演2)
设\(f:N\rightarrow R \:\:\:\:\:g:N\rightarrow R\)是两个函数，且存在正整数N,对于所有\(n>N,f(n)=g(n)=0\)
则
\(f(n)=\sum_{n|m, m\leq N}g(m)\)
\(g(n)=\sum_{n|m,m\leq N}\mu(\frac{m}{n})f(m)\)
