第二类斯特林数

问题描述

有n个互不相同的球，放到k个互不相同的盒子里，每个盒子里至少要有一个球，求方案数

递推式方式：

\(f[n][k]=k*f[n-1][k]+f[n-1][k-1]\)
\(f[n][k]记为第二类斯特林数，记为S_2(n,k)\)
时间复杂度为\(O(kn)\)

用容斥原理求第二类斯特林数

设\(a_i\)为第i个盒子没有球
\(ans=N(\prod_{i=1}^k(1-a_i))=\sum_{i=0}^k (-1)^i {n \choose i} N(\prod_{j=1}^i a_j)\)
\(\:\:\:\:\:\:\:\,=\sum_{i=0}^k (-1)^i {n \choose i} (k-i)^n\)
此方案数是对盒子进行编号后的方案数，题目中的盒子并没有方案数，也就是集合是无序的，所以最后要消序
所以
\(S_2(n,k)\cdot k!=\sum_{i=0}^k (-1)^i {n \choose i} (k-i)^n\)
\(S_2(n,k)=\frac{\sum_{i=0}^k (-1)^i {n \choose i}(k-i)^n}{k!}\)
时间复杂度\(O(k\cdot logn)\)

重要公式

\(n^m=\sum_{k=0}^m S_2(m,k)n^{\underline{k}}\)
其实\(n^m\)就是有m个球放入n个盒子的方案数（可以有盒子没有球）
\(n^m=\sum_{k=0}^n {n \choose k}S_2(m,k)k!=\sum_{k=0}^m S_2(m,k)n^{\underline{k}}\)