流水作业调度问题———Johnson算法

问题描述：

N个作业1，2，…，n要在由2台机器A和B组成的流水线上完成加工。每个作业加工的顺序都是先在A上加工，然后在B上加工。A和B加工作业i所需的时间分别为a[i]和b[i]。你可以安排每个作业的执行顺序，使得从第一个作业在机器A上开始加工，到最后一个作业在机器B上加工完成所需的时间最少。求这个最少的时间。

大概思路：求一个加工顺序使得加工时间最短，就是让机器空闲时间最短，当A开始工作便会一直运作，关键是B会等待A，很明显A加工第一个作业时B得等待，同理B加工最后一个作业A得等待

Johnson算法

此算法是一种贪心策略：把在A机器上加工最快的作业先加工，把B机器上加工最快的作业放在最后

具体实现：

设$M_i=min\{a_i,b_i \}$
将数组M由小到大排序，然后从第一个开始处理，若$M_i=a_i$则按顺序排在作业加工顺序的前面，若$M_i=b_i$则按顺序排在后面
最后排出来的顺序就是最优解

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算法证明

设$S=\{ J_1,J_2,J_3····J_n \}$为待加工作业排序，
$T(S,t)$为A开始加工S中作业，B需t时刻后才能加工A加工完的作业，这种情况下加工完S中作业所需最小的时间
$T(S,t)=min \{ a_i+T ( S- \{ J_i \}, b_i+max\{t-a_i,0\} ) \}$, $J_i\in S$
假设最佳方案是先加工$J_i$,然后加工$J_j$，则有
$T(S,t)=a_i+T(S- \{J_i\} , b_i+max \{t-a_i,0 \})=a_i+a_j+ T(S-\{J_i,J_j \},b_i+bj+T_{ij})$
$T_{ij}=b_j+max \{b_i+max \{ t-a_i,0 \}-a_j,0\},0\} = b_i+b_j-a_i-a_j+max\{t,a_i,a_i+a_j-b_i\}$
若$J_i$和$J_j$调换顺序则：
$T'(S,t)=a_i+a_j+T(S-\{J_i,J_j\}, T_{ji})$
$T_{ji}=b_i+b_j-a_i-a_j+max\{t,a_j,a_i+a_j-b_j\}$
所以$T(S,t)<=T'(S,t)$,所以有
$max\{t,a_i,a_i+a_j-b_i\} <= max\{t,a_j,a_i+a_j-b_j\}$
$a_i+a_j+max\{-b_i,-a_j\}<=a_i+a_j+max\{-b_j,-a_i\}$
（其实2步转化我不太清楚，只是意会了一下，如有理解的麻烦告诉我，感谢）
即
$min\{b_j,a_i\}<= min\{b_i,a_j\}$
也就是说$J_i$在$J_j$之前加工最优得满足上式条件，
则$a_i<=b_i,a_j$或者 $b_j<=b_i,a_j$
即在A机器上加工时间短的任务优先，而在B机器上加工时间短的排在后面，与具体实现的步骤相符