数学 - 随笔分类 - I_N_V

摘要：##大步小步算法（baby step giant step，BSGS）是一种用来求解离散对数（即模意义下对数）的算法，即给出

a^{x} \equiv b (\mod m)

$a^x \equiv b \pmod m$ 中

a, b, m

$a,b,m$ 的值（这里保证

a

$a$ 和

m

$m$ 互质，求解

m

$m$ 既然保证了

a

$a$ 和

m

$m$ 互质，那么很容易联想阅读全文

posted @ 2022-09-28 23:03 I_N_V 阅读(219) 评论(0) 推荐(0) 编辑

原根

摘要：###前置知识 ####欧拉函数若正整数m,a，满足

(a, m) = 1

$(a,m)=1$ ，则

a^{ϕ (m)} \equiv 1 (m o d : m)

$a^{\phi(m)}\equiv 1(mod: m)$ ####阶若正整数m,a，满足

(a, m) = 1

$(a,m)=1$ ，则使得$a^n\equiv 1(mod : m)

的 最 小 正 整 数 n 称 为 a 模 m 的 阶 ， 记 为

$的最小正整数n称为a模m的阶，记为$ \delta_m(a) 阅读全文

posted @ 2022-01-03 16:34 I_N_V 阅读(143) 评论(0) 推荐(0) 编辑

生成函数例题

摘要：###背包 ####题解构造生成函数那么相乘得到

F (x) = \frac{x}{1 - x^{4}} = x \sum_{i \geq 0} (\binom{i + 4 - 1}{i}) x^{i} = \sum_{i \geq 1} (\binom{i + 3}{i}) x^{i}

$F(x)=\frac{x}{1-x^4}=x\sum_{i\geq 0}{i+4-1\choose i}x^i=\sum_{i\geq 1}{i+3\choose i}x^i$ 则$ans=[x^n]F(x)=\frac{n(n+1)(n+2)} 阅读全文

posted @ 2021-11-23 13:34 I_N_V 阅读(120) 评论(0) 推荐(0) 编辑

生成函数

摘要：####多项式：

A (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}

$A(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i$ ####形式幂级数：

A (x) = \sum_{i \geq 0} a_{i} x^{i}

$A(x)=\sum_{i\geq0}a_ix^i$ 其中

a_{i} \in K

$a_i\in K$ ，K是一个域，通常我们考虑

K = R 或 K = Z_{p}

$K=\mathbb{R}或K=\mathbb{Z}_p$ 注意这里的x可以理解为独立于域K的一个阅读全文

posted @ 2021-11-22 23:53 I_N_V 阅读(93) 评论(0) 推荐(0) 编辑

线性基

摘要：####向量空间的基向量空间中最大的线性无关组称为该向量空间的一组基 ####线性无关组一些向量

v_{1}, v_{2}, \cdot \cdot \cdot, v_{k}

$v_1,v_2,···,v_k$ 不存在

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{k} v_{k} = 0 且 a_{1}, a_{2}, \cdot \cdot \cdot, a_{k} 不 全 为 零

$a_1v_1+a_2v_2+···+a_kv_k=0且a_1,a_2,···,a_k不全为零$ ###线性基一般指

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$ (模2下，或阅读全文

posted @ 2021-11-20 23:48 I_N_V 阅读(164) 评论(0) 推荐(0) 编辑

斐波

摘要：###题目描述 ###题解首先设

f (S) = \sum_{T \subseteq S} g (\sum_{t \in T} t), g (n) = f i b (n)^{2}

$f(S)=\sum_{T\subseteq S}g(\sum_{t\in T}t),g(n)=fib(n)^2$ 一个性质：

h (n) = f (n) * g (n)

$h(n)=f(n)*g(n)$ ,若

f (n), g (n)

$f(n),g(n)$ 都为线性递推式，则

h (n)

$h(n)$ 也为线性递推式那么 \(fib(n)^2=[ 阅读全文

posted @ 2021-11-18 22:20 I_N_V 阅读(307) 评论(0) 推荐(0) 编辑

区间加区间sin和

摘要：###题目描述 ###题解

s i n (x + v) = s i n x c o s v + c o s x s i n v

$sin(x+v)=sinxcosv+cosxsinv$

c o s (x + v) = - s i n x s i n v + c o s x c o s v

$cos(x+v)=-sinxsinv+cosxcosv$ 所以 $$

(\begin{matrix} s i n (x + v) \cos (x + v) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} sin(x+v)\cos(x+v) \end{pmatrix}$ = \begin{pmatrix} cos 阅读全文

posted @ 2021-11-17 23:03 I_N_V 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

矩阵

摘要：##矩阵设K为一个域，满足

\forall 1 \leq i, j \leq n, a_{i j} \in K

$\forall 1 \leq i,j \leq n,a_{ij}\in K$ 的数表 $$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&···&a_{1n}\ a_{21}&a_{22}&···&a_{2n}\ ·&·&&·\ ·&·&&·\ a_{n1 阅读全文

posted @ 2021-11-17 00:17 I_N_V 阅读(122) 评论(0) 推荐(0) 编辑

方格填色

摘要：##题面描述给一个

m \cdot n

$m\cdot n$ 的方格，每个格子可以是黑色或者白色。要求左右相邻两格不能同为白色且相邻两列不能全为黑色。求满足条件的方案数.

1 \leq m \leq 5, 1 \leq n \leq 10^{18}

$1\leq m \leq 5 , 1\leq n\leq 10^{18}$ ###题解因为

m

$m$ 很小，所以可以每列每列的考虑，每列可以用状压来表阅读全文

posted @ 2021-11-16 18:17 I_N_V 阅读(296) 评论(0) 推荐(0) 编辑

狄利克雷卷积

摘要：###狄利克雷卷积设

f : N \to R g : N \to R

$f: N\rightarrow R g:N\rightarrow R$ 是两个函数则它们的狄利克雷卷积为

(f g) (n) = \sum_{d | n} f (d) g (\frac{n}{d})

$(fg)(n)=\sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$ ###命题如果

f (n) 和 g (n) 为 积 性 函 数 ， 则 h (n) = (f g) (n) 也 为 积 性 函 数

$f(n)和g(n)为积性函数，则h(n)=(fg)(n)也为积性函数$ ## 阅读全文

posted @ 2021-11-04 21:30 I_N_V 阅读(106) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LCMs

摘要：###题面描述 ###题解求

\sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} l c m (a_{i}, a_{j}) = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} \frac{a_{i} a_{j}}{g c d (a_{i}, a_{j})}

$\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}lcm(a_i,a_j)=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}\frac{a_ia_j}{gcd(a_i,a_j)}$ 设$f(d)=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_ 阅读全文

posted @ 2021-11-03 21:05 I_N_V 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

序列

摘要：###题面描述 ###题解设

[c o n d i t i o n] = {\begin{cases} 1 & if condition 成立 0 & if condition 不成立 \end{cases}

$[condition]= \begin{cases} 1 & \text{if condition 成立}\ 0& \text{if condition 不成立} \end{cases}$ 则$ans=\sum_{1\leq x,y\leq n}[a_{b_x}=b_ 阅读全文

posted @ 2021-11-02 23:48 I_N_V 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

莫比乌斯反演

摘要：####铺垫已知

g (n)

$g(n)$ 的前缀和

f (n) = \sum_{I = 1}^{n} g (i)

$f(n)=\sum_{I=1}^ng(i)$ ,则可以通过f来反求g,

g (n) = f (n) - f (n - 1)

$g(n)=f(n)-f(n-1)$ 已知

g (n)

$g(n)$ 的因数和

f (n) = \sum_{d | n} g (d)

$f(n)=\sum_{d|n}g(d)$ ,如何通过f来反求g \(g(n)=g(p_1^{\alpha1}p_2^{\alp 阅读全文

posted @ 2021-11-02 23:30 I_N_V 阅读(57) 评论(0) 推荐(0) 编辑

E. Bash Plays with Functions

摘要：####题面 ###题解首先考虑

f_{0} (n)

$f_0(n)$ 不难发现

f_{0} (n) = f_{0} (p_{1}^{α 1} p_{2}^{α 2} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{α k}) = 2 k

$f_0(n)=f_0(p_1^{\alpha 1}p_2^{\alpha 2}···p_k^{\alpha k})=2k$ 对于互质的两个数p,q 不难发现

f_{0} (p q) = f_{0} (p) f_{0} (q) = 2 p + q

$f_0(pq)=f_0(p)f_0(q)=2{p+q}$ 则

f_{0} (n)

$f_0(n)$ 为积阅读全文

posted @ 2021-10-31 22:39 I_N_V 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

积性函数

摘要：##定义 #####如果

f : N \to R

$f:N\rightarrow R$ ,满足对任意互质的正整数

p, q

$p,q$ ,都有

f (q p) = f (q) f (p)

$f(qp)=f(q)f(p)$ ,则称f(x)为积性函数 ####例子：

1 (n) = 1

$1(n)=1$

i d (n) = n

$id(n)=n$ \(\epsilon(n)=[n=1],\epsilon(1)=1,\epsil 阅读全文

posted @ 2021-10-28 20:51 I_N_V 阅读(209) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Mike and Foam

摘要：###题目描述 ###题解对于每次询问可以对新加入的数或移除的数进行单独贡献计算假设新加入或移除的数为

x = p_{1}^{α_{1}} p_{2}^{α_{2}} \cdot \cdot \cdot p_{k}^{α_{k}}

$x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}···p_k^{\alpha_k}$ 显然每个质数的系数无关紧要，所以对一新加入\移除的数只考虑已存在的数中是否有$p_1,p_2, 阅读全文

posted @ 2021-10-25 21:18 I_N_V 阅读(32) 评论(0) 推荐(0) 编辑

第二类斯特林数

摘要：###问题描述有n个互不相同的球，放到k个互不相同的盒子里，每个盒子里至少要有一个球，求方案数 #####递推式方式：

f [n] [k] = k * f [n - 1] [k] + f [n - 1] [k - 1]

$f[n][k]=k*f[n-1][k]+f[n-1][k-1]$

f [n] [k] 记 为 第 二 类 斯 特 林 数 ， 记 为 S_{2} (n, k)

$f[n][k]记为第二类斯特林数，记为S_2(n,k)$ 时间复杂度为

O (k n)

$O(kn)$ #####用容阅读全文

posted @ 2021-10-24 22:58 I_N_V 阅读(68) 评论(0) 推荐(0) 编辑

[CQOI2012]局部极小值

摘要：###题目描述 ###题解首先可以知道一个矩阵最多只能有8个特殊点，因此这8个点的状态很好表示，并且n,m数据范围很小，可以考虑用状压dp来计算因为局部极小值为周围最小的，可以考虑从小到大填数设dp[i][j]为填了前i个数，特殊点状态为j的方案数(j的二进制第i位表示第i个特殊点是否填上) 阅读全文

posted @ 2021-10-24 00:11 I_N_V 阅读(177) 评论(0) 推荐(0) 编辑

容斥原理

摘要：##定理设S是一个有限集，

A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{n}

$A_1,A_2,···,A_n$ 是S的n个子集，则 $|\bigcup_{i=1}^nA_i|=\sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\cdot\sum_{1 \leq j_1< j_2···< j_i\leq n}|\bigcap_{k=1}^{i}A_{j_k 阅读全文

posted @ 2021-10-21 21:53 I_N_V 阅读(135) 评论(0) 推荐(0) 编辑

排列和组合

摘要：

(\binom{n}{m}) = \frac{n!}{(n - m)! m!}

${n \choose m}=\frac{n!}{(n-m)!m!}$

(\binom{n}{m}) = (\binom{n - 1}{m - 1}) + (\binom{n - 1}{m})

${n \choose m}={n-1 \choose m-1}+{n-1 \choose m}$ 取n

(\binom{n - 1}{m - 1})

${n-1 \choose m-1}$ 不取n

(\binom{n - 1}{m})

${n-1 \choose m}$ \({n \choos 阅读全文

posted @ 2021-10-16 19:12 I_N_V 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

hhh22

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