K最邻近分类

$K$ 最邻近分类是分类方法中比较简单的一种，下面对其进行介绍

1.模型结构说明

$K$ 最邻近分类模型属于“基于记忆”的非参数局部模型，这种模型并不是立即利用训练数据建立模型，数据也不再被函数和参数所替代。在对测试样例进行类别预测的时候，找出和其距离最接近的 $K$ 个样例，以其中数量最多的类别作为该样例的类预测结果。

$K$ 最邻近分类模型的结构可以用下图来说明，图中叉号表示输入的待分类样例，对其分类时选定一个距离范围（虚线圆圈表示的范围），在该范围内包含有 $K$ 个样例（除去待分类样例外，这里 $K$ =5），这里所说的距离并不专指距离度量（如曼哈顿距离、欧氏距离等），它可以是任意一种邻近度度量（在我的博文《数据测量与相似性分析》中有介绍），此时最邻近的5个样例中，有3个“+”例，2个“-”例，故待分类样例的类别定位“+”。为了便于确定类别， $K$ 一般取奇数。

2.模型构建

2.1 K值选取

从 $K$ 最邻近分类方法的分类过程可知， $K$ 值对模型的误分类率影响较大。 $K$ 较小时，相当于用较小邻域中的样例进行预测，“学习”的近似误差会减小，但是“学习“的估计误差会增大，且对邻域内的样例非常敏感，若邻近的样例中包含部分噪声，预测结果就会出错， $K$ 较大时的情况则相反。

总的来说， $K$ 值减小意味着整体模型变复杂，容易发生过拟合， $K$ 值增大意味着模型变简单，导致忽略“训练”样例中一些有用信息，预测误分类率会增高。在应用中，一般 $K$ 取较小的值（例如sklearn库中最邻近分类器KNeighborsClassifier中 $K$ 默认为5），可以通过交叉验证法选择一个合适的 $K$ 值

2.2 最邻近样例搜索

由于 $K$ 最邻近分类器不需要利用样例进行训练，因此关键点就集中在如何快速进行 $K$ 邻近样例搜索，这在特征空间维数大和样例数据量大时非常重要。一种容易想到的方法是对所有样例进行线性搜索，但显然这在特征空间高维数、样例量大时不可取。有很多方法可以提高搜索效率，这里介绍其中的一种—— $kd$ 树(kd tree)方法。

$kd$ 树（也是一种二叉树）是一种对 $k$ 维空间中的样例进行存储以便对其进行快速检索的树形结构，在特征空间为一维时，平衡二叉树是一个不错的选择，但是当特征空间为多维时，平衡二叉树就无能为力了，此时 $kd$ 树就派上用场了。

2.2.1 $kd$ 树构造过程

$kd$ 树的构造过程大致为：首先构造一个根节点，选择 $k$ 维特征空间中的一个变量 $x^{1}$ ，依据在变量 $x^{1}$ 上的取值的中位数划分样例集（大于或等于中位值、小于中位值），形成左子树和右子树，这个根节点就类似于一个矩形超平面，将样例集划分到平面左右两侧。接着再选择一个变量 $x^{2}$ ，按照样例在变量 $x^{2}$ 上取值的中位值分别对左子树、右子树中的样例进行划分，这个过程相当于在之前被根节点一分为二的左、右超平面内，分别用基于各自空间内 $x^{2}$ 上中位数的矩形超平面再次将子空间进行划分，重复这个过程，直到 $kd$ 树的每个结点上只包含一个样例为止（即叶子结点，从几何空间上看，即划分后两个子区域内没有实例存在）。这个过程中有几点需要单独强调：

(1) 在这个过程中，划分空间时变量优先选择策略可以为：依据子空间内（根节点时为整个样例空间）样例在该变量上取值波动程度（即方差），波动大的优先选择。当然，也可以是随机选择。

(2) 当所有变量都已被用来划分样例、划分仍未结束时，需要接着用所有变量再进行一次划分，不断重复该过程，直到划分停止。

(3) 假设当前选择用变量 $x^{k}$ 进行划分，那么本次划分是在各子空间单独进行的，即各子空间内本次划分时，在变量 $x^{k}$ 上选值是依据该子空间内样例的中位值。

(4) $kd$ 树上对同一层深度的样例划分时，必须使用同一变量，也即是说在一次划分中，各子空间必须使用同一变量。

(5) 划分值（矩形超平面位置）选择的是各子空间内样例在变量上取值的中位数，这种划分策略保证生成的 $kd$ 树是平衡的。

(6) 若训练集中存在标称型属性，使用K最邻近分类器则不太合适，因为标称型属性无法参与到距离度量的计算中。

2.2.2 $kd$ 树的构造算法

输入： $p$ 维空间数据集 $T={x_{1},x_{2},...,x_{N}}$ ，其中 $x_{i}=(x_{i}^{(1)},x_{i}^{(2)},...,x_{i}^{(p)})$

输出： $kd$ 树

开始：构造根节点，根节点对应于包含 $T$ 的 $p$ 维空间的超矩形区域。选择 $x^{(1)}$ 为坐标轴，以 $T$ 中所有实例的 $x^{(1)}$ 坐标的中位数为切分点，将根节点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴 $x^{(1)}$ 垂直的超平面实现。对由根结点生成深度为1的左、右子结点，左子结点对应坐标 $x^{(1)}$ 小于切分点的子区域，右子结点对应于坐标 $x^{(1)}$ 大于切分点的子区域。将落在切分超平面上的实例点保存为根节点。
重复：对深度为 $j$ 的结点，选择 $x^{(m)}$ 为切分的坐标轴， $m=j(mod)p+1$ ，以该结点的区域中所有实例的 $x^{(m)}$ 坐标的中位数为切分点，将该结点对应的超矩形区域分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴 $x^{(m)}$ 垂直的超平面实现。由该结点生成深度为 $j$ +1的左、右子结点：左子结点对应坐标 $x^{(m)}$ 小于切分点的区域，右子结点对应坐标 $x^{(m)}$ 大于切分点的区域。将落在切分超平面上的实例点保存在该结点。
结束：直到两个区域没有实例存在时停止。

举一个 $kd$ 树构造的例子，给定一个二维空间数据集 $T$

$T=\left \{ (2,3)^{T},(5,4)^{T},(9,6)^{T},(4,7)^{T},(8,1)^{T},(7,2)^{T} \right \}$

$kd$ 树的构造过程为：选择 $x^{(1)}$ 轴，6个数据点 $x^{(1)}$ 坐标的中位数为7（5也可以），以平面 $x^{(1)}$ =7将空间划分为左、右两个子矩形（子结点），左子矩形以 $x^{(2)}$ =4平面一分为二，右子矩形以 $x^{(2)}$ =6一分为二，如此递归，得到下图(左)所示的特征空间划分，下图(右)所示的 $kd$ 树。

2.2.3 搜索 $kd$ 树

从 $kd$ 树的构造过程来看，可以省去对大部分数据点的搜索，从而减少搜索的时间。给定一个目标点（即待分类样例），先找到包含该目标点的叶子结点，然后依次回退到父结点，在这个过程中不断查找与目标点最邻近的样例，当确定不可能存在更近的结点时，结束搜索过程，这个过程可以用下图来说明（此次搜索过程不涉及图中左下子区域中的点，因此未画出）

图中共有A、B、C、D、E、F 5个样例点，其中点F(绿色)输入的待分类样例点，点A(根节点，红色，椭圆)在变量 $x^{1}$ 的矩形超平面上，点B(红色，圆形)在变量 $x^{1}$ 的矩形超平面下方，点C、D、E、F 均在变量 $x^{1}$ 的矩形超平面上方。点C(蓝色，椭圆)在变量 $x^{2}$ 的矩形超平面上，点D(蓝色，圆形)在变量 $x^{2}$ 的矩形超平面左边，点E、F在变量 $x^{2}$ 的矩形超平面右边。

首先找到点F所在的叶子结点，即点E（点F与点E在同一区域内），此时点E为最邻近点，计算点F与点E间的距离，得到 $r1$ (蓝色虚线)。接着回到父结点C上，计算父结点C与点F间的距离，发现该距离大于 $r1$ ，故最邻近点仍然为点E，然后以点F为圆心， $r1$ 为半径作圆（蓝色线条的圆），若该圆与变量 $x^{2}$ 上的矩形超平面相交，则需要对父结点C的另一个子区域（左子树）内的点进行搜索，因为这表明其中可能存在更邻近点；若圆（蓝色线条的圆）与变量 $x^{2}$ 上的矩形超平面不相交，则不必在父结点的另一个子空间内搜索。由于此时圆（蓝色线条的圆）与变量 $x^{2}$ 上的矩形超平面相交，因此需要计算点D与点F间的距离 $r2$ (红色虚线)，结果发现 $r2<r1$ ，故此时点D是最邻近点。

接着再回到结点C的父结点A上，计算点A与点F间的距离并与 $r2$ 比较，发现该距离大于 $r2$ ，故点D仍然为最邻近点，然后以点F为圆心， $r2$ 为半径作圆，该圆与变量 $x^{1}$ 的矩形超平面不相交，故不需要再对结点A的左子树（变量 $x^{1}$ 的矩形超平面下半区域）内的点进行搜索，即点B不可能是最邻近点。

至此为止，在本例中搜索过程结束，需要说明的是，本例中的圆在实际多维特征空间中为超球体，判断超球体与分类矩形超平面是否相交的方法为：待分类点（目标点）与分类超矩形平面的距离（即在当前分类变量 $x^{k}$ 上，待分类点与父结点在 $x^{k}$ 上取值的差值的绝对值）是否大于超球体半径。在实际中也只需要依照该过程不断重复，直至搜索到根节点。

$kd$ 树上最邻近点的搜索算法为：

在 $kd$ 树上找出包含目标点 $x$ 的叶子结点：从根节点出发，递归的向下访问 $kd$ 树，若目标点 $x$ 当前维的坐标小于切分点的坐标，则移动到左子树点，否则移动到右子树点，直至子结点为叶子结点为止。
以此叶子结点为最邻近点
递归的向上回退，在每个结点进行一下操作：
- 如果该结点保存的实例点比当前最近点距离目标点更近，则以该实例点为“当前最近点”
- 当前最近点一定存在于该结点的一个子结点对应的区域。检查该子结点父结点的另一子结点对应的区域是否有更近点。具体的，检查另一子结点对应的区域是否与以目标点为球心、以目标点与“当前最近点”间距离为半径的超球体相交。如果相交，可能在另一子结点对应的区域内存在距离目标点更近的点，移动到另一子结点。接着递归的进行最邻近搜索。如果不想交，则向上回退。
当退回到根结点时，结束搜索，最后的“当前最近点”即为 $x$ 的最邻近点。

以上的过程是 $K=1$ 的情况，对于 $K>1$ 的情况，搜索的方式和 $K=1$ 时一样，但在找最近的 $K$ 个点时，首先要保证找到数量足够的点，在前 $K$ 次搜索时不必考虑距离问题，直接将这 $K$ 个点当做“当前最近 $K$ 个点”，接下来的搜索就要考虑距离问题了，以这 $K$ 个点中最远距离作为“当前最近距离”，当找到更近的点时，对“当前最近距离”进行更新。

3.对距离进行加权处理

当数据中类分布不平衡时，会出现以下这种情况，假设 $K=5$

蓝色的点表示类1，橙色的点表示类2，依据KNN算法中对类别的判定规则，此时样本的类别被预测为类2，但是从图中可以明显的看出待分类样本离类别1的点更近、更应该将其归为类1，为了处理这种情况，可以采用距离加权的方式，距离越近的点赋予其更大的权值。权值的计算方式有多种，这里介绍一种常用的方式——采用高斯函数计算权值。

高斯函数的定义形式为

$f(x)=ae^{-\frac{(x-b)^{2}}{2c^{2}}}$