麻省理工公开课：线性代数 第10课 四个基本子空间

参考资料：

网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公开课：线性代数

教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

链接：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
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假设：$m\times n$矩阵$A$

一、矩阵$A$的列空间：$C(A)$

（1）是$R^m$的子空间

（2）维数：矩阵$A$的秩$r$　　//$A\mathbf{x}=0$主元变量的数目

（3）基：$r$个主列

二、矩阵$A$的零空间：$N(A)$

（1）是$R^n$的子空间

（2）维数：$A\mathbf{x}=0$自由变量的数目$n-r$

（3）基：自由变量对应的$n-r$个特解

三、矩阵$A$的行空间：$C(\color{red}{A^T})$　　//矩阵$A$所有行的线性组合；或者矩阵$A$的转置$A^T$所有列的线性组合

（1）是$R^n$的子空间

（2）维数：矩阵$A^T$的秩$r$　　//$rank(A)=rank(A^T)$

（3）基：行最简矩阵$R$的前$r$行　　//不一定是$A$的前$r$行

注：矩阵$A$和行最简矩阵$R$的行空间相同（$C(A^T)=C(R^T)$），列空间不同（$C(A)\neq C(R)$）　　//“行变换”不影响行空间(基一致)，但是会改变列空间

四、矩阵$A$的转置的零空间：$N(\color{red}{A^T})$　　//左零空间：$A^T\mathbf{y}=\mathbf{0} \Rightarrow \color{red}{\mathbf{y}^TA=\mathbf{0}^T}$

（1）是$R^m$的子空间

（2）维数：$m-r$

（3）基：变换矩阵$E$的最下方$m-r$行

　　利用高斯-约旦消元法（第3课）求解变换矩阵$E$使得$EA=R$　　//当m=n，且$A$可逆时，$R=I, E=A^{-1}$

　　变换矩阵$E$的最下方$m-r$行正是使得$A$各行线性组合为0的系数（左乘相当于行组合），即为矩阵$A^T$零空间的基

示例：

• 行空间的基为$R$的前$r=2$行：$[1~0~1~1]^T$和$[0~1~1~0]^T$
• 左零空间的基为$E$的最后$m-r=3-2=1$行：$[-1~0~1]^T$

五、新型向量空间$M$

（1）定义：所有$3\times 3$矩阵　　//将矩阵视为“向量”

（2）满足向量空间的八条运算法则：如对加法和数乘封闭等

（3）子空间：所有上三角矩阵、所有对称矩阵、所有对角矩阵$D$（前两者交集）　　//$D$的维数为3