麻省理工公开课：线性代数 第9课 线性相关性、基、维数

参考资料：

网易公开课：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公开课：线性代数

教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

链接：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
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一、背景知识

（1）假设存在$m\times n$矩阵$A$，其中$m<n$（未知量数的个数多于方程数）

　　则，$A\mathbf{x}=0$有无穷多个解　　//因为至少存在$n-m$个自由变量，所以零空间不仅包含零向量，还包含其他非零特解向量

二、线性无关/独立（Independence）

（1）定义：向量$\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n$是线性无关的，仅当

$$c_1\mathbf{x}_1+c_2\mathbf{x}_2+\cdots+c_n\mathbf{x}_n=0$$

　　的解只有所有的$c_i$为零，不存在其他使上式为零的线性组合。否则，为线性相关。

（2）等价表达1：以各个向量为列的矩阵$[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n]$的零空间仅包含零向量。否则，为线性相关。

　　  等价表达2：以各个向量为列的矩阵$[\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \cdots, \mathbf{x}_n]$的秩$r=n$（无自由变量）　　//$r<n$则线性相关

　注：零向量与任何向量都是线性相关的。

三、向量生成空间（span a space）

（1）定义：向量$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_l$生成一个空间，意味着该生成空间由$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_l$的所有线性组合构成。　　//如矩阵的各列生成列空间

四、向量空间的基（basis）　　//向量的个数不多不少，刚刚好

（1）定义：空间的基指的是一个向量组$\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \cdots, \mathbf{v}_d$，该向量组具有两种基本性质

• 该向量组是线性无关的
• 该向量组可以生成整个空间

（2）空间的基不唯一　　//如任意$n\times n$可逆矩阵都是空间$R^n$的基

（3）空间的任意基包含的基向量个数是相等的　　//如空间$R^n$的基向量个数为$n$

（4）空间的维数（dimension）：空间基向量的个数

（5）矩阵的秩$rank(A)$定义

• 主列的个数
• 列空间的维数$dim(A)$（线性无关列的个数）　　//列空间的基为任意$r$个线性无关的向量

（6）零空间$N(A)$的维数：自由变量的数目=$n-r$