不定方程整数解

1.一次不定方程 $x_1+x_2+...+x_n=m$ 的正整数解个数

考虑隔板法，将m看成m个小球，在中间放上n-1个隔板，每一个区域的小球个数作为一个x的解，很明显，有m-1个位置可以放上隔板，一共需放上n-1个，所以答案即为 $C^{n-1}_{m-1}$

可以理解为向n个盒子里放m个球(不能为空)

 

2.一次不定方程 $x_1+x_2+...+x_n=m$ 的非负整数解个数

这次盒子可以为空了，将方程转化一下
$$(x_1+1)+(x_2+1)+...+(x_n+1)=m+n$$
这样每个数都为正整数，由(1)，答案即为 $C^{n-1}_{n+m-1}$

 

3.一次不定方程 $x_1+x_2+...+x_n=m$ ，满足 $x_i≥a_i$ 的正整数解个数

再次将方程转化一下
$$(x_1-a_1+1)+(x_2-a_2+1)+...+(x_n-a_n+1)=m-\sum a_i+n$$
相当于每次往特定的箱子里预先装入一些球，现在每个数都为正整数，由(1)，答案即为 $C^{n-1}_{m+n-\sum a_i-1}$

 

4.一次不定方程 $x_1+x_2+...+x_n=m$ ，满足 $x_i≤a_i$ 的正整数解个数 (n<=20)

由于这个n很小，而且于反方向比较好思考(3)，考虑容斥，把条件转化为不满足 $x_i≥a_i+1$ ，答案即为全部-其中一个不满足的+其中二个不满足的-... 枚举其中有哪些x不满足的二进制状态，根据多少x不满足的数量奇偶判断加减即可