9.18 CF1817题解
9.18CF1817题解
A. Almost Increasing Subsequence
题意
给定长度为 \(n\) 一个序列 \(a\) 以及 \(q\) 次询问，每次询问给出 \(l\) 和 \(r\)，找出序列 \(a\) 在 \([l,r]\) 内最长的几乎递增子序列。
对于几乎递增的定义：如果一个序列中不存在连续的三个数 \(x\)，\(y\)，\(z\)，使得 \(x \ge y \ge \ z\)，则这个序列是几乎递增的。
题解
直接找出区间内 \(a_{i-1} \le a_i\le a_{i + 1}\) 个数，区间长度减去这个的个数。
因为连续3个只能选择两个。
前缀和记录一下就可以。
B. Fish Graph
题意
定义“鱼图”为满足以下条件的无向图：
- 该图包含正好 \(1\) 个环，环上有 \(1\) 个特殊的结点 \(u\)，\(u\) 除了连在环上的 \(2\) 条边外还有正好 \(2\) 条边，每一条边连向一个环外的结点（即，若环的大小为 \(s\)，整个图一共有 \(s+2\) 个结点）。
现在给定一个简单无向图，问该图中是否有一个子图为“鱼图”。一个无向图的子图即为原图中删去若干个点和若干条边所形成的图。如果存在，还需要构造出其中任意一个满足要求的子图。
题解
找环小技巧：
枚举一个点 \(s\)，bfs，记录 \(fa_i\) ，\(fa_i\) 里面全是 \(s\) 相邻的点，表示 \(i\) 被搜索到是从 \(fa_i\) 这个 \(s\) 的邻居搜到的。
若有边 \((u,v)\) 并且 \(fa_u \ne fa_v\) 那么就可以形成一个环。
所以枚举度 \(\ge 4\) 的点暴力找环就完了。
C. Similar Polynomials
题意
给定两个次数为 \(d\) 的多项式 \(A, B\) 在 \(0, 1, 2, \dots, d\) 处的点值对 \(10^9+7\) 取模，保证 \(B(x) \equiv A(x+s) \pmod {10^9+7}\)。求 \(s \bmod 10^9+7\)。
题解
多项式差分
定义差分运算 \(\Delta\) ：
定义 k 阶差分：
我们发现连续点值差分一次就会消掉一项，消到只剩两项就是 \(ax+b\)，一项就是 \(-a\)。
然后两个多项式都求一次，就是已知 \(a,ax+b,a(x+s)+b\) 求 \(s\)，这很简单。
D. Toy Machine
题意
有一个长 \(n\) 宽 \(2\) 的矩形游戏机。保证 \(n\) 是奇数。
游戏开始之前，有 \(n - 2\) 个玩具放在第一排中间的 \(n - 2\) 个位置中（两个角除外）。编号从左到右依次为 \(1\) 到 \(n - 2\)。第二行为空，其最左、最右和中心位置是障碍物。你可以控制玩具机向左、向右、向上、向下，分别用字母 \(\texttt L\)、\(\texttt R\)、\(\texttt U\) 和 \(\texttt D\) 表示。
操控时，所有玩具将同时沿相应方向移动，碰到另一个玩具、墙壁或障碍物停止。您的目标是将第 \(k\) 个玩具移动到第一行最左边。给定 \(n\) 和 \(k\)，构造一个最多使用 \(1000000\) 次操作的方案。
题解
如果 \(k\) 在左边，直接 \(\texttt {LURD}\) 一直循环即可。
如果 \(k\) 在中间，直接 \(\texttt {DR}\)。
如果 \(k\) 在右边，比较难搞。
-
我们先考虑 \(k = n - 2\)，\(k\) 在最后的情况，直接循环 \(\texttt{LULD}\)，最后形成如同图一的情况，直接 \(\texttt{RDL}\)。
-
对于平凡的情况我们考虑通过循环 \(\texttt{RULD}\) 把这个点移动到最后位，然后通过上面的方法做。
（图一）
E. Half-sum
题意
有一个非负整数序列 \(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)。
你可以从序列中取任意两个数，并将它们的平均数放回序列。
序列最后会剩两个数，请求出这两个数的差的绝对值的最大值。
因为答案将会是一个小数，所以请输出答案对 \(10^9+7\) 取模的结果。
题解
最优情况应该是：
先排序，找一个断点，左边从右向左依次操作，右边从左向右依次操作。
左边就是 \(A\)，右边就是 \(B\)。
如果直接找断点是 \(O(n^2)\) 的，我们考虑找前 \(32\) 个和后 \(32\) 个。
因为超过 \(32\) 的必定要除以 \(2^{32}\) ，数据范围 \(2^{31}\) ，除之后必定 \(<1\) 贡献太小了，不需要考虑。（这是感性理解）
