9.18 CF1817题解

合集 - CF(6)

1.9.4 CF1852 题解2023-09-042.9.6 CF1830 题解2023-09-063.9.11 CF1819 题解2023-09-14

4.9.18 CF1817题解2023-09-19

5.9.25 CF1863题解2023-09-266.10.30 CF1685 题解2023-11-01

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9.18CF1817题解

A. Almost Increasing Subsequence

题意

给定长度为 $n$ 一个序列 $a$ 以及 $q$ 次询问，每次询问给出 $l$ 和 $r$，找出序列 $a$ 在 $[l,r]$ 内最长的几乎递增子序列。

对于几乎递增的定义：如果一个序列中不存在连续的三个数 $x$，$y$，$z$，使得 $x\ge y\ge z$，则这个序列是几乎递增的。

题解

直接找出区间内 $a_{i-1}\le a_i\le a_{i+1}$ 个数，区间长度减去这个的个数。

因为连续3个只能选择两个。

前缀和记录一下就可以。

B. Fish Graph

题意

定义“鱼图”为满足以下条件的无向图：

• 该图包含正好 $1$ 个环，环上有 $1$ 个特殊的结点 $u$，$u$ 除了连在环上的 $2$ 条边外还有正好 $2$ 条边，每一条边连向一个环外的结点（即，若环的大小为 $s$，整个图一共有 $s+2$ 个结点）。

现在给定一个简单无向图，问该图中是否有一个子图为“鱼图”。一个无向图的子图即为原图中删去若干个点和若干条边所形成的图。如果存在，还需要构造出其中任意一个满足要求的子图。

题解

找环小技巧：

枚举一个点 $s$，bfs，记录 $f{a}_i$ ，$f{a}_i$ 里面全是 $s$ 相邻的点，表示 $i$ 被搜索到是从 $f{a}_i$ 这个 $s$ 的邻居搜到的。

若有边 $(u,v)$ 并且 $f{a}_u\ne f{a}_v$ 那么就可以形成一个环。

所以枚举度 $\ge 4$ 的点暴力找环就完了。

C. Similar Polynomials

题意

给定两个次数为 $d$ 的多项式 $A,B$ 在 $0,1,2,\dots ,d$ 处的点值对 ${10}^9+7$ 取模，保证 $B(x)\equiv A(x+s)(\mathrm{mod}{10}^9+7)$。求 $smod{10}^9+7$。

题解

多项式差分

定义差分运算 $\mathrm{\Delta }$ ：

$$\mathrm{\Delta }{h}_i=h_{i+1}-h_i$$

定义 k 阶差分：

$${\mathrm{\Delta }}^k{h}_i=\mathrm{\Delta }({\mathrm{\Delta }}^{k-1}{h}_i)={\mathrm{\Delta }}^{k-1}{h}_{i+1}-{\mathrm{\Delta }}^{k-1}{h}_i$$

我们发现连续点值差分一次就会消掉一项，消到只剩两项就是 $ax+b$，一项就是 $-a$。

然后两个多项式都求一次，就是已知 $a,ax+b,a(x+s)+b$ 求 $s$，这很简单。

D. Toy Machine

题意

有一个长 $n$ 宽 $2$ 的矩形游戏机。保证 $n$ 是奇数。

游戏开始之前，有 $n-2$ 个玩具放在第一排中间的 $n-2$ 个位置中（两个角除外）。编号从左到右依次为 $1$ 到 $n-2$。第二行为空，其最左、最右和中心位置是障碍物。你可以控制玩具机向左、向右、向上、向下，分别用字母 $\mathtt{\text{L}}$、$\mathtt{\text{R}}$、$\mathtt{\text{U}}$ 和 $\mathtt{\text{D}}$ 表示。

操控时，所有玩具将同时沿相应方向移动，碰到另一个玩具、墙壁或障碍物停止。您的目标是将第 $k$ 个玩具移动到第一行最左边。给定 $n$ 和 $k$，构造一个最多使用 $1000000$ 次操作的方案。

题解

如果 $k$ 在左边，直接 $\mathtt{\text{LURD}}$ 一直循环即可。

如果 $k$ 在中间，直接 $\mathtt{\text{DR}}$。

如果 $k$ 在右边，比较难搞。

• 我们先考虑 $k=n-2$，$k$ 在最后的情况，直接循环 $\mathtt{\text{LULD}}$，最后形成如同图一的情况，直接 $\mathtt{\text{RDL}}$。

• 对于平凡的情况我们考虑通过循环 $\mathtt{\text{RULD}}$ 把这个点移动到最后位，然后通过上面的方法做。

（图一）

E. Half-sum

题意

有一个非负整数序列 $\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$。

你可以从序列中取任意两个数，并将它们的平均数放回序列。

序列最后会剩两个数，请求出这两个数的差的绝对值的最大值。

因为答案将会是一个小数，所以请输出答案对 ${10}^9+7$ 取模的结果。

题解

最优情况应该是：

先排序，找一个断点，左边从右向左依次操作，右边从左向右依次操作。

左边就是 $A$，右边就是 $B$。

如果直接找断点是 $O(n^2)$ 的，我们考虑找前 $32$ 个和后 $32$ 个。

因为超过 $32$ 的必定要除以 $2^{32}$ ，数据范围 $2^{31}$ ，除之后必定 $<1$ 贡献太小了，不需要考虑。（这是感性理解）