9.11 CF1819 题解

合集 - CF(6)

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9.11CF1819 题解

A. Constructive Problem

简单题，上链接：

链接

B. The Butcher

题意

有一张 $h\times w$ 的纸片，现在对这张纸片进行 $n-1$ 次裁剪。每次裁剪后会将其中一半收归（即这一半不会再被裁剪）。

保证纸片不会被旋转。

告诉你最终裁剪后的 $n$ 张纸片长宽，问初始有多少 $h\times w$ 的纸片可以裁剪成这 $n$ 张纸片，输出所有可行解。

题解

考虑第一次剪的那一刀一定会保留下来一个 $h$ 或者 $w$。

$h_i$ 和 $w_i$ 分别求最大，然后有可能 $h=h_{max}$ 或者 $w=w_{max}$。

用面积先判断一次可不可以除尽。

之后 check 再模拟把一块块拼回去，看看有没有不合法的。

check 总的来说就是反复取 $w,h$ 最大的，然后减去这一块，若发现取出来的和当前 $w$ 或 $w$ 不相等，那么无解。

用 set 维护即可。

check 部分手模一下应该就知道怎么搞。

C. The Fox and the Complete Tree Traversal

题意

给定整数 $n$ 和一棵包含 $n$ 个节点的树。 记 $\mathrm{Dist}(x,y)$ 表示树上节点 $x,y$ 之间最短路径的边数。 你需要判断是否存在一个 $1\sim n$ 的排列 $p$ ，满足:

• $\mathrm{Dist}(p_i,p_{i+1})\le 2$ 对任意整数 $i(1\le i<n)$ 成立。
• $\mathrm{Dist}(p_1,p_n)\le 2$ 。
  存在则输出 Yes 然后输出任意一个满足要求的 $p$ ，不存在则输出 No 。

例如下面的图，顺着黑色带箭头线填入排列就是一个合法解。

题解

不知道是怎么想出毛毛虫的，好厉害。

我们把一棵树旋转成一棵毛毛虫。

我们发现如果这个毛毛虫有长度 $\ge 2$ 的支链就无解（具体可以自己手玩尝试一下）。

然后就可以做了。

D. Misha and Apples

题意

给定 $n$ 个集合 $S_i$，第 $i$ 个集合的大小为 $k_i$，集合元素为 $1\sim m$ 的正整数。特别地，若 $k_i=0$，则 $S_i$ 可以是正整数 $1\sim m$ 的任意可空子集，由你确定。

设 可重集 $S$，初始为空。按编号从小到大依次遍历每个集合，往 $S$ 中加入 $S_i$ 所有元素。每次加入当前集合的所有元素后，若 $S$ 包含重复元素，则清空 $S$。注意，一个集合内的元素 同时 被加入 $S$。

你需要确定 $k_i=0$ 的 $S_i$ 具体包含哪些数，使得最终的 $|S|$ 最大。求出这个最大值。

多组数据。

$1\le T,\sum n,m\le 2\times {10}^5$，$0\le \sum k_i\le 2\times {10}^5$，$S_i$ 的元素互不相同。

注意不保证 $\sum m$ 的数量级。

题解

我们考虑最晚一次清空尽量早，这样清空之后的的处理就很简单了。

我们定义 $c{l}_i$ 表示枚举到当前的 $i$ 最晚一次清空尽量早，在 $c{l}_i$ 处。

我们定义 $f_i$ 表示在 $i$ 时候是否可以被清空。

我们定义 $mx$ 表示 $S_i$ 所有元素上一次出现位置最晚一次在哪里。

当前在 $i$，先来求 $f_i$：

• 如果 $c{l}_i<mx$ ，显然当前一定出现重复元素，$f_i=1$。

• 如果 $c{l}_i\ge mx$，并且 $[c{l}_i+1,mx]$ 之前存在一个空集，那么这个空集一定可以为我所用，让我在 $i$ 清空，$f_i=1$。

• 否则 $f_i=0$。

注意我们的 $f_i$ 表示能否被清空，而不是一定被清空。

然后来更新 $c{l}_{i+1}$ ：

初始化 $c{l}_{i+1}=c{l}_i$

• 如果 $c{l}_{i+1}<mx$，那么在 $i$ 处会被清空，我们要让最晚一次清空尽量早，我们就要让 $mx$ 被清空掉，所以 ++cl[i + 1]，直到 $c{l}_{i+1}\ge mx$，进入下面的流程。

• 如果 $c{l}_{i+1}\ge mx$ ，如果 $f_{c{l}_{i+1}}=0$，那么 ++cl[i + 1]，直到 $f_{c{l}_{i+1}}=1$

最后 $c{l}_n$ 就是最晚一次清空位置了。

之后看 $c{l}_n\sim n$ 有没有空集，若有答案就是 $m$，若没有答案就是 $c{l}_n\sim n$ 集合元素个数。