9.6 CF1830 题解

合集 - CF(6)

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9.6 CF1830 题解

A. Copil Copac Draws Trees

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真弱智题不用讲

B. The BOSS Can Count Pairs

题意

每组数据给你一个 $n$ 和两个序列 $a,b$。

求有多少个数对 $(i,j)$ 满足 $1\le i<j\le n$ 且 $a_i\times a_j=b_i+b_j$。

题解

考虑 $a_i\times a_j=b_i+b_j$，那么 $a_i\times a_j\le 2n\to min(a_i,a_j)\le \sqrt{2n}$。

枚举 $x$ 表示两个a中小的那个，从 $1\to \sqrt{2n}$ 。

把所有满足 $a_i=x$ 的 $b_i$ 放在桶里，然后在桶里找 $a_i\times x-b_i$ 个数。

复杂度 $O(n\sqrt{n})$

C. Hyperregular Bracket Strings

题意

给定 $k$ 个区间，求有多少种长度为 $n$ 的合法括号序列，满足每个区间也是合法括号序列。

题解

考虑两个相交的区间，可以分成三个区间，三个区间都满足是合法括号序列。

黑色是原本的，黄色是现在的。

考虑两个相包含的区间，被包含的区间是一部分，剩余部分是一部分。

红色部分要满足合法，黄色部分拼起来也要满足合法。

我们有一堆相交，相包含的区间交替出现，如果你要真的分割区间会是一个我不会的分讨。

我们考虑给每一个区间赋权值，相交部分的权值就异或起来。

在上面两种情况中权值异或后权值每一部分都不相同。

我们想要的是每一种区间的长度然后求卡特兰数，也就是每一种区间也就是每一个异或值对应的个数。

区间赋异或权值可以考虑差分序列，两端点赋了之后再前缀异或和得到原序列。

D. lMex Tree

题意

给定一棵 $n$ 个结点的树，点有点权，点权为 0 或 1。你需要给一种指定点权的方案，使得每一条路径的点权 $\mathrm{mex}$ 之和最大。

题解

考虑最优解是大多路径都是 2，少部分是 1或者 0。

那么我们记录距离所有路径都是 2 的情况缺失多少，我们要让缺失值最小。

设 $f_{u,0/1,i}$ 表示以 $u$ 为根的子树，$u$ 是 $0/1$，$u$ 子树和 $u$ 值相同的联通块大小为 $i$ 。

$f$ 初始值就是 $f_{u,0,1}=1,f_{u,1,1}=2$ 。

本身到本身有贡献。

转移方程就是

$$\begin{gathered} f_{u,0,j}=min(f_{u,0,j}+\underset{k=1}{\overset{siz[v]}{min}}{f}_{v,1,k},\underset{k=1}{\overset{siz[v]}{min}}(f_{u,0,j-k}+f_{v,0,k}+(j-k)\times k) \\ {f}_{u,1,j}=min(f_{u,1,j}+\underset{k=1}{\overset{siz[v]}{min}}{f}_{v,0,k},\underset{k=1}{\overset{siz[v]}{min}}(f_{u,1,j-k}+f_{v,1,k}+2\times (j-k)\times k) \end{gathered}$$

这样是 $O(n^2)$ 的，我们怎么优化呢？

优化

我们考虑设每个子树大小为 $siz$ ，最优情况联通块大小不超过 $\sqrt{2n}$ 。

因为我们可以发现一种比较优秀的情况是黑白染色，这时候缺失值最多为 $2n$ 。

当联通块大小为 $x$ 时，缺失值最少是 $x^2$ ，当联通块大小 $\ge \sqrt{2n}$ 时候一定不够优秀。