ZS Shuffles Cards 题解

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11.ZS Shuffles Cards 题解2023-08-16

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ZS Shuffles Cards 题解

我们把每一次抽一些数字牌再抽到 joker 视作一局游戏。

每局期望轮数

首先考虑 $f_i$ 表示每一局游戏抽出 $i$ 张牌的概率。

那么就是先抽出 $i-1$ 张数字牌，再抽出一张 joker 。

概率就是 ：

$$f_i=\frac{m}{n+m-i+1}\prod _{k=0}^{i-2}\frac{n-k}{m+n-k}$$

一局游戏期望抽牌（轮）数量也就是：

$$\begin{array}{rl}E& =\sum _{i=1}^{n+1}i\times f_i\\ & =\sum _{i=1}^{n+1}i\times \frac{m}{n+m-i+1}\prod _{k=0}^{i-2}\frac{n-k}{m+n-k}\end{array}$$

直接算这个式子会超时，我们可以先预处理后面的部分：

令

$$g_i=\prod _{k=0}^{i-2}\frac{n-k}{m+n-k}$$

可得

$$g_{i+1}=g_i\ast \frac{n-i+1}{m+n-i+1}$$

就转化成

$$E=\sum _{i=1}^{n+1}i\times \frac{m}{n+m-i+1}\times g_{i+1}$$

期望局数

令 $h_i$ 表示集合 $S$ 内还缺 $i$ 个数才凑够 $n$ 时，期望再玩多少局。

显然答案就是 $h_n$。

若抽到了缺少的牌，那么就是：

$\frac{k}{m+k}{f}_{k-1}$

若抽到鬼牌，那么就是（加 1 是因为新的一局）：

$\frac{m}{m+k}{f}_k+1$

所以就是：

$$f_k=\frac{m}{m+k}(f_k+1)+\frac{k}{m+k}\ast f_{k-1}$$

化简得：

$$f_k=f_{k-1}+\frac{m}{k}$$

初始 $f_0=1$ 。

因为即使你的集合内的数已经凑够了，你也要抽到 joker 才能停止。

最后答案就是

$$ans=E\times f_n$$

温馨提示

建议预处理逆元（我最开始没有预处理虽然本地没超时但测评会T）

code

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int mod = 998244353;
const int N = 4e6 + 10;
ll n, m, w[N], ans1 = 0, ans2 = 0;
ll pr[N], ip[N], rv[N];
inline ll mpow(ll x, ll k){
    ll ans = 1;
    while(k){
        if(k & 1) ans = ans * x % mod;
        k >>= 1;
        x = x * x % mod;
    }
    return ans;
}
void pre(int n){
    pr[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) pr[i] = pr[i - 1] * i % mod;
    ip[n] = mpow(pr[n], mod - 2);
    for(int i = n - 1; i >= 1; --i) ip[i] = ip[i + 1] * (i + 1) % mod;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) rv[i] = ip[i] * pr[i - 1] % mod;
}
void op(){
    w[1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n + 1; ++i){
        w[i + 1] = w[i] * (n - i + 1) % mod * rv[n + m - i + 1] % mod;
        ans1 = (ans1 + i * m % mod * rv[n + m - i + 1] % mod * w[i] % mod) % mod;
    }
    ans2 = m + 1;
    for(int i = 2; i <= n; ++i){
        ans2 = (ans2 + m * rv[i] % mod) % mod;
    }
}
int main(){
    cin>> n >> m;
    pre(n + m + 1);
    op();
    cout<<ans1 * ans2 % mod;
    return 0;
}