Burnside 定理

合集 - 题解(11)

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Burnside 定理

问题：

给定一个 $n$ 个点，$n$ 条边的环，有 $m$ 种颜色，给每个顶点染色，问有多少种本质不同的染色方案，答案对 ${10}^9+7$ 取模

注意本题的本质不同，定义为：只需要不能通过旋转与别的染色方案相同。

题目初步解读

我们考虑如果不要求本质不同只需要 $n^n$ 。

但因为无标号的环就会重复。

例如这是一个 4 个点， 2 种颜色的情况：

在这里面如果不要求本质不同就有 16 种方案，若要求，则只有 6 种。

同一行的都是一种方案。

Burnside 引入

我们先来一些定义

置换群

令集合 $N=\{1,2,\cdots ,n\}$ 。

令集合 $M$ 为 $N$ 若干个排列构成的集合。

令群 $G=(M,\times )$ 其中符号 $\times$ 解释如下：

$\sigma$ 是一个排列，也就是 $M$ 中一个元素。

写为 $\sigma \times a$ 不过更习惯被表示为 $\sigma (a)$ 。

其运算规则为：$\sigma (a)=(a_{{\sigma }_1},a_{{\sigma }_2}...a_{{\sigma }_n})$。

在前面样例中，置换群是：

$(\{$旋转$0°,$旋转$90°,$旋转$180°,$旋转$270°\},\times )$

若写成排列则是：

$(\{\{1,2,3,4\},\{2,3,4,1\},\{3,4,1,2\},\{4,1,2,3\}\},\times )$

轨道

考虑一个作用在 $X$ 上的置换群 $G$ ， $X$ 中一个元素 $x$ 的轨道则是 $x$ 通过 $G$ 中元素可以转移到的元素的集合。记作 $G(x)$ 。

样例中每一行就是一个轨道。例如下面就是一个轨道。

稳定子

稳定子定义为：$G^x=\{g|g\in G,g\times x=x\}$。

使用语言描述，便是群 $G$ 中满足 $g(x)=x$ 的所有元素 $g$ 所构成的集合。

样例中：
的稳定子为 $\{$旋转$0°\}$，
的稳定子为 $\{$旋转$0°,$旋转$180°\}$，
的稳定子为 $\{$旋转$0°,$旋转$90°,$旋转$180°,$旋转$270°\}$。

轨道-稳定子定理：

我们可以发现：

1.在同一轨道的元素稳定子个数一定相等。

2.稳定子大小乘轨道大小等于群 $G$ 大小。

$$|G^x|\times |G(x)|=|G|$$

没错，他是个定理，考虑感性证明：

一个元素 $x$ 按照 $G$ 的操作一定可以得到轨道内所有元素，也就是集合 $G(x)$ 。

但在操作过程中会有重复的，重复的次数也就是稳定子集合大小。

详细证明可以看这里。

不动点

若 $g(x)=x$ 则称 $x$ 是在 $g$ 下的不动点。

定义集合 $X^g=\{x|g(x)=x,x\in X\}$。

稳定子和不动点有类似反演的关系。

若 x 的稳定子集合里有 $g$，那么 g 下不动点集合中也有 x。

所以对于每一个 $x$ 稳定子的个数之和等于对于每一个 $g$ 不动点个数之和。

形式化

$$\sum _{x\in X}|G(x)|=\sum _{g\in G}|X^g|$$

注意稳定子是对于 g 来说的，而不动点是对于 x 来说的。

例如 ''旋转180°'' 不动点是

Burnside 定理

公式：

我们要求的答案一般来说也就是轨道数量。

$$ans={\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}{X}^g$$

证明：

等价类数量也就是轨道数量。

$|G(x)|$ 代表 $x$ 所在轨道大小。

$$ans=\sum _{x\in X}\frac{1}{|G(x)|}$$

根据轨道-稳定子定理得

$$ans=\sum _{x\in X}\frac{|G^x|}{|G|}=\frac{1}{|G|}\sum _{x\in X}|G^x|$$

用稳定子和不动点关系得：

$$ans={\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^g|$$

回到题目

扩展到 $n$，现在的 $G$ 就是$\{$ 旋转 $0$ 次，旋转 $1$ 个，$\cdots$，旋转$n-1$个 $\}$。

考虑旋转 $k$ 次的不动点个数是 $n^{gcd(k,n)}$。

当 $gcd(k,n)=k$:

我们按照 $k$ 将环切成 $\frac{n}{k}$ 份，然后标上号。

将他旋转。

我们发现每一份必须一样他才是个不动点。

答案就是 $n^k=n^{gcd(n,k)}$。

当 $gcd(k,n)\ne k$:

令 $g=gcd(k,n)$ 那么我们将他旋转 $g\times \frac{k}{g}$ ，等价于将长度为 $g$ 的旋转 $\frac{k}{g}$ 次。

答案就是 $n^{gcd(n,k)}$。

如果还不懂，建议手模一下 $k=4,n=6$ 这个样例。

应用Burnside则有

$$Ans={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{n}^{gcd(k,n)}$$

发现有 $gcd$ ，可以莫反。

莫反基操，不多说。

$$\frac{1}{n}\sum _{d|n}{n}^d\phi (\frac{n}{d})$$

直接暴力可过。

Pólya 定理

就是染色问题中Burnside的运用。

对于一个排列 $g$ ，我们将每一个 $i$ 向 $a_i$ 连一条边，会得到若干环，每个环内元素颜色应该相同。定义 $c(g)$ 代表环数量，那么 Pólya 就是

$${\displaystyle \frac{1}{|G|}}\sum _{g\in G}{m}^{c(g)}$$