组合

组合数

默认会组合数基础内容和二项式定理

学习之前你应该知道：

广义组合数定义

(\binom{n}{m}) = \frac{n^{\underset{―}{m}}}{m!}

n^{\underset{―}{m}} = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times . . . \times (n - m + 1)

主要内容

组合数常用公式及证明

这里的证明主要分为 3 种

1.用组合意义证明

2.用定义证明(拆成阶乘形式)

3.用前面的公式推导

公式目录

\begin{aligned} (\binom{n}{k}) & = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) \\ (\binom{n}{k}) & = (- 1)^{k} (\binom{k - n - 1}{k}) \\ (\binom{n}{m}) (\binom{m}{k}) & = (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{m - k}) \\ (\binom{n}{k}) & = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) \\ \sum_{k = 0}^{n} (\binom{k}{m}) & = (\binom{n + 1}{m + 1}) \\ \sum_{k = 0}^{m} (\binom{n + k}{k}) & = (\binom{n + m + 1}{m}) \\ \sum_{k = 0}^{n} (\binom{r}{k}) (\binom{s}{n - k}) & = (\binom{r + s}{n}) \\ \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) & = 2^{n} \\ \sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) & = (- 1)^{m} (\binom{n - 1}{m}) \end{aligned}

特别的，公式里面没有写范围所以会出现 $(\binom{a}{b})$ 中 $b < 0$ 的情况，实际上是错误的表达方式，但是在推公式的过程中可以当做 $0$ 。

常用组合数值为常数情况：

(\binom{a}{0}) = (\binom{a}{a}) = 1 (\binom{0}{a}) = 0 (\binom{a}{b}) = 0, a < b (\binom{a}{b}) = 0, b < 0

不带求和

1.吸收公式（Absorption Identity）：

(\binom{n}{k}) = \frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1})

定义证明：

(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{(k - n)! \times k!}

\frac{n}{k} (\binom{n - 1}{k - 1}) = \frac{n}{k} \frac{(n - 1)!}{(n - k)! \times (k - 1)!} = \frac{n!}{(k - n)! \times k!}

推广：

k (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k - 1}), (n - k) (\binom{n}{k}) = n (\binom{n - 1}{k})

均可用定义证明，不再赘述。

2.上指标反转（Negating the Upper Index）：

(\binom{n}{k}) = (- 1)^{k} (\binom{k - n - 1}{k})

定义证明：

（这里运用组合数广义定义）

(\binom{k - n - 1}{k}) = \frac{(k - n - 1)^{\underset{―}{k}}}{k!} \begin{aligned} (k - n - 1)^{\underset{―}{k}} & = (k - n - 1) \times (k - n - 2) \times . . . \times (- n) \\ = (- 1)^{k} \times n \times (n + (k - 1) - k) \times . . . \times (n + 1 - k) \\ = (- 1)^{k} n^{\underset{―}{k}} \end{aligned}

把这个带入就可以了。

3.三项式系数恒等式：

(\binom{n}{m}) (\binom{m}{k}) = (\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{m - k})

组合意义证明：

从 $n$ 个小球中选 $m$ 个染成红色，再从 $m$ 个红色小球中选 $k$ 个染成蓝色。

从 $n$ 个小球中选 $k$ 个染成蓝色，再从 $n - k$ 个无色小球中选 $m - k$ 个染成红色。

两种方法得到的最终结果等价。

定义证明：

(\binom{n}{m}) (\binom{m}{k}) = \frac{n!}{m! \times (n - m)!} \times \frac{m!}{k! \times (m - k)!} = \frac{n!}{k! \times (n - m)! \times (m - k)!}

(\binom{n}{k}) (\binom{n - k}{m - k}) = \frac{n!}{k! \times (n - k)!} \times \frac{(n - k)!}{(n - m)! \times (m - k)!} = \frac{n!}{k! \times (n - m)! \times (m - k)!}

4.帕斯卡公式

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) ， k \in [1, n]

组合意义证明

从 $n$ 个小球中选 $k$ 个，一定是最后一个小球不选然后从 $n - 1$ 个里面选 $k$ 个和最后一个小球要选然后从 $n - 1$ 个里面选 $k - 1$ 个的方案数加起来。

定义证明

\begin{aligned} (\binom{n}{k}) & = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k}) \\ \frac{n!}{k! \times (n - k)!} & = \frac{(n - 1)!}{(n - k)! \times (k - 1)!} + \frac{(n - 1)!}{(n - k - 1)! \times (k)!} \\ \frac{n!}{k! \times (n - k)!} & = \frac{(n - 1)! \times (k)! \times (n - 1 - k)! + (n - k)! \times (n - 1)! \times (k - 1)!}{(n - k)! \times (k - 1)! \times k! \times (n - 1 - k)!} \\ n! & = \frac{(n - 1)! \times [(k)! \times (n - 1 - k)! + (n - k)! \times (k - 1)!]}{(k - 1)! \times (n - 1 - k)!} \\ n & = \frac{k! \times (n - 1 - k)!}{(k - 1)! \times (n - 1 - k)!} + \frac{(n - k)! \times (k - 1)!}{(k - 1)! \times (n - 1 - k)!} \\ n & = k + n - k \\ n & = n \end{aligned}

求和

接下来才是真正有用的东西

1.上指标求和（Summation on the Upper Index）：

公式1

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{k}{m}) = (\binom{n + 1}{m + 1})

组合证明

有 $n + 1$ 个球，选 $m + 1$ 个，枚举最后一个选的位置在 $k + 1$ 则前 $k$ 个要选 $m$ 个。

推导证明

根据4.帕斯卡公式得

\begin{aligned} (\binom{n + 1}{m + 1}) & = (\binom{n}{m}) + (\binom{n}{m + 1}) \\ = (\binom{n}{m}) + (\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 1}{m + 1}) \\ = (\binom{n}{m}) + (\binom{n - 1}{m}) + (\binom{n - 2}{m}) + (\binom{n - 2}{m + 1}) \\ = . . . . . . \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{k}{m}) \end{aligned}

公式2

\sum_{k = 0}^{m} (\binom{n + k}{k}) = (\binom{n + m + 1}{m})

推导证明

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{m} (\binom{n + k}{k}) & = \sum_{k = 0}^{m} (\binom{n + k}{n}) = \sum_{k = n}^{n + m} (\binom{k}{n}) \\ = \sum_{k = 0}^{n + m} (\binom{k}{n}) - \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{k}{n}) \\ = (\binom{m + n + 1}{n + 1}) - (\binom{n}{n + 1}) \\ = (\binom{m + n + 1}{m}) \end{aligned}

第 3 行运用了上指标求和的公式1 ， $(\binom{n}{n + 1}) = 0$

2.范德蒙德卷积

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{r}{k}) (\binom{s}{n - k}) = (\binom{r + s}{n})

组合证明

有 $r + s$ 个小球选 $n$ 个小球，枚举在前 $r$ 个中选 $k$ 个，在后 $s$ 个中选 $n - k$ 个。

推导证明

这里用了二项式定理

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n + m} (\binom{n + m}{k}) x^{k} & = (x + 1)^{n + m} \\ = (x + 1)^{n} (x + 1)^{m} \\ = \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) x^{r} + \sum_{r = 0}^{m} (\binom{m}{s}) x^{s} \\ = \sum_{k = 0}^{n + m} \sum_{r = 0}^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{m}{k - r}) x^{k} \end{aligned} \Rightarrow (\binom{n + m}{k}) = \sum_{r = 0}^{k} (\binom{n}{k}) (\binom{m}{k - r})

3.一行之和

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

组合意义证明

从 $n$ 个小球里面选任意个小球，每个小球有选和不选两种情况。

推导证明

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) & = \sum_{k = 0}^{n} ((\binom{n - 1}{k}) + (\binom{n - 1}{k - 1})) \\ = \sum_{k = 0}^{n} 2 \times (\binom{n - 1}{k}) \\ = . . . \\ = 2^{n} \end{aligned}

这里使用帕斯卡公式

4.交错和

\sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) = (- 1)^{m} (\binom{n - 1}{m})

推导证明

\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{k} (\binom{r}{k}) & = \sum_{k = 0}^{m} (\binom{k - n - 1}{k}) \\ = (\binom{m - n}{m}) \\ = (- 1)^{m} (\binom{n - 1}{m}) \end{aligned}

运用上指标反转和上指标求和。

题目：

例题1

证明：

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n + i}{n}) = \sum_{i = 0}^{n} 2^{i} {(\binom{n}{i})}^{2}

推导证明：

\begin{aligned} \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n + i}{n}) & = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{i}{n - k}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{i}{n - k}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{n - k}) (\binom{k}{i + k - n}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{n - k}) \sum_{i = 0}^{n} (\binom{k}{i + k - n}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{n - k}) \sum_{i = k - n}^{k} (\binom{k}{i}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (\binom{n}{n - k}) \sum_{i = 0}^{k} (\binom{k}{i}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} 2^{i} {(\binom{n}{i})}^{2} \end{aligned}

主要运用三项系数恒等式，一行求和。特别的，第 5 行到第 6 行是因为 $(\binom{a}{b})$ 当 $b < 0$ 时推公式的时候可以当做 0。

组合意义证明

（你敢想这也有组合意义？）

有 $n$ 个白球， $n$ 个黑球。

选 $n$ 个球涂成红色，在从曾经白色现在红色中选任意个（可以为 $0$ ）涂成蓝色，求方案数。

选法一（对应左式）：

先选 $n - i$ 个白球涂成蓝色，再从剩余 $n + i$ 个中选 $i$ 个染成红色。

枚举 $i$ ，加法原理求和。

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{n - i}) (\binom{n + i}{i}) = \sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n + i}{n})

选法二（对应右式）：

先从白球中选 $i$ 个涂成红色，黑球中选 $n - i$ 个涂成红色，再从曾经白色现在红色中选任意个涂成蓝色。

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n}{i}) (\binom{n}{n - i}) \times 2^{i} = \sum_{i = 0}^{n} 2^{i} {(\binom{n}{i})}^{2}

\sum_{i 满 足 条 件 1} f (i) \sum_{j 满 足 条 件 2 (和 i 有 关)} g (j)

例题2

证明

\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k}} (\binom{n + k}{k}) = 2^{n}

推导：

声明 $f (n)$ 使得

f (n) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k}} (\binom{n + k}{k})

\begin{aligned} f (n) & = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k}} (\binom{n + k}{k}) \\ = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k}} (\binom{n + k - 1}{k}) + \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k}} (\binom{n + k - 1}{k - 1}) \\ = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{k}} (\binom{n + k - 1}{k}) + \frac{1}{2^{n}} (\binom{2 n - 1}{n}) + \sum_{k = - 1}^{n - 1} \frac{1}{2^{k + 1}} (\binom{n + k}{k}) \\ = f (n - 1) + \frac{1}{2^{n}} (\binom{2 n - 1}{n}) + \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{2^{k}} (\binom{n + k}{k}) \\ = f (n - 1) + \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{2^{k}} (\binom{n + k}{k}) + \frac{1}{2^{n}} (\binom{2 n - 1}{n}) - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2^{n}} (\binom{2 n}{n}) \\ = f (n - 1) + \frac{1}{2} f (n) + \frac{1}{2^{n}} (\binom{2 n - 1}{n}) - \frac{1}{2} \times \frac{1}{2^{n}} (\binom{2 n}{n}) \\ = f (n - 1) + \frac{1}{2} f (n) + \frac{1}{2^{n}} ((\binom{2 n - 1}{n}) - \frac{1}{2} (\binom{2 n}{n})) \\ = f (n - 1) + \frac{1}{2} f (n) + \frac{1}{2^{n}} ((2 n - 1) \times . . . \times (n - 1) - \frac{1}{2} (2 n) \times . . . \times (n + 1)) \\ = f (n - 1) + \frac{1}{2} f (n) \end{aligned}

f (0) = 1, f (n) = 2 f (n - 1)

归纳一下即可。

概率证明：

这个东西非常神秘。

考虑掷硬币，直到正面出现 $n + 1$ 次停止，在 $n + k + 1$ 次停止的概率是

\frac{1}{2^{n + k}} (\binom{n + k}{n})

posted @ 2023-07-01 17:50 He_Zi 阅读(114) 评论(1) 编辑收藏举报

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