组合

组合数

默认会组合数基础内容和二项式定理

学习之前你应该知道：

广义组合数定义

\[\binom n m = \frac {n^{\underline m}} {m!} \]

\[n^{\underline m} = n \times(n - 1) \times (n - 2)\times...\times(n-m+1) \]

主要内容

组合数常用公式及证明

这里的证明主要分为 3 种

1.用组合意义证明

2.用定义证明(拆成阶乘形式)

3.用前面的公式推导

公式目录

\[\begin{aligned} \binom n k &= \frac n k \binom {n - 1} {k - 1}\\ \binom n k &= (-1)^k \binom {k - n - 1}{k}\\ \binom nm\binom mk &= \binom nk \binom {n-k}{m-k}\\ \binom nk &= \binom {n - 1}{k - 1} + \binom {n - 1}{k}\\ \sum_{k = 0}^n \binom km &= \binom{n + 1} {m + 1}\\ \sum_{k = 0}^m \binom {n+k}k &= \binom {n + m + 1} m\\ \sum_{k = 0}^{n}\binom r k\binom s {n - k} &= \binom {r + s}{n}\\ \sum_{k = 0}^n\binom n k &= 2^n\\ \sum_{k = 0}^m(-1)^k \binom n k &= (-1)^m\binom {n - 1}m\\ \end{aligned} \]

特别的，公式里面没有写范围所以会出现 \(\binom a b\) 中 \(b < 0\) 的情况，实际上是错误的表达方式，但是在推公式的过程中可以当做 \(0\)。

常用组合数值为常数情况：

\[\binom a 0 = \binom a a = 1~~~~~~~~~\binom 0 a = 0\\ ~~~~~~~~~~\binom a b = 0 ,a<b~~~~~~~~~~~~\binom a b = 0 ,b<0 \]

不带求和

1.吸收公式（Absorption Identity）：

\[\binom n k = \frac n k \binom {n - 1} {k - 1} \]

定义证明：

\[\binom n k = \frac {n!}{(k-n)!\times k!} \]

\[\frac n k \binom {n - 1}{k - 1} = \frac n k \frac {(n - 1)!}{(n-k)!\times(k-1)!} = \frac {n!}{(k-n)!\times k!} \]

推广：

\[k\binom n k = n \binom {n-1}{k-1},(n - k)\binom n k = n \binom{n-1} k \]

均可用定义证明，不再赘述。

2.上指标反转（Negating the Upper Index）：

\[\binom n k = (-1)^k \binom {k - n - 1}{k} \]

定义证明：

（这里运用组合数广义定义）

\[\binom {k - n - 1} k = \frac {(k - n - 1) ^ {\underline k}} {k!}\\ \begin{aligned} (k - n - 1) ^ {\underline k} &= (k - n - 1)\times(k - n - 2)\times...\times(-n)\\ &=(-1)^k \times n \times (n +(k - 1) - k) \times ...\times (n + 1 - k)\\ &=(-1)^k n ^{\underline k} \end{aligned} \]

把这个带入就可以了。

3.三项式系数恒等式：

\[\binom nm\binom mk = \binom nk \binom {n-k}{m-k} \]

组合意义证明：

从 \(n\) 个小球中选 \(m\) 个染成红色，再从 \(m\) 个红色小球中选 \(k\) 个染成蓝色。

从 \(n\) 个小球中选 \(k\) 个染成蓝色，再从 \(n - k\) 个无色小球中选 \(m - k\) 个染成红色。

两种方法得到的最终结果等价。

定义证明：

\[\binom nm\binom mk = \frac {n!}{m!\times(n-m)!} \times \frac{m!}{k!\times(m-k)!} = \frac {n!} {k!\times(n-m)!\times(m-k)!} \]

\[\binom nk\binom {n-k}{m-k} = \frac {n!}{k!\times(n-k)!} \times \frac{(n-k)!}{(n-m)!\times(m-k)!} = \frac {n!} {k!\times(n-m)!\times(m-k)!} \]

4.帕斯卡公式

\[\binom nk = \binom {n - 1}{k - 1} + \binom {n - 1}{k}，k\in[1,n] \]

组合意义证明

从 \(n\) 个小球中选 \(k\) 个，一定是最后一个小球不选然后从 \(n - 1\) 个里面选 \(k\) 个和最后一个小球要选然后从 \(n - 1\) 个里面选 \(k - 1\) 个的方案数加起来。

定义证明

\[\begin{aligned} \binom nk &= \binom {n - 1}{k - 1} + \binom {n - 1}{k}\\ \frac {n!} {k!\times(n-k)!} &= \frac {(n-1)!}{(n-k)!\times(k-1)!} + \frac {(n-1)!}{(n-k - 1)!\times(k)!}\\ \frac {n!} {k!\times(n-k)!} &= \frac {(n-1)!\times(k)!\times(n-1-k)! + (n-k)!\times(n-1)!\times(k-1)!} {(n-k)!\times(k-1)!\times k!\times(n-1-k)!}\\ {n!}&= \frac {(n-1)!\times[(k)!\times(n-1-k)! + (n-k)!\times(k-1)!]} {(k-1)!\times(n-1-k)!}\\ n &= \frac{k! \times (n-1-k)!} {(k-1)!\times(n-1-k)!} + \frac{(n-k)! \times (k-1)!} {(k-1)!\times(n-1-k)!}\\ n &= k + n - k\\ n &= n \end{aligned} \]

求和

接下来才是真正有用的东西

1.上指标求和（Summation on the Upper Index）：

公式1

\[\sum_{k = 0}^n \binom km = \binom{n + 1} {m + 1}\\ \]

组合证明

有 \(n + 1\) 个球，选 \(m + 1\) 个，枚举最后一个选的位置在 \(k + 1\) 则前 \(k\) 个要选 \(m\) 个。

推导证明

根据4.帕斯卡公式得

\[\begin{aligned} \binom {n + 1}{m + 1} &= \binom{n}{m}+\binom{n}{m + 1}\\ &=\binom{n}{m}+\binom{n-1}{m} + \binom{n-1}{m+1}\\ &=\binom{n}{m}+\binom{n-1}{m} + \binom{n-2}{m} + \binom{n-2}{m+1}\\ &=......\\ &=\sum_{k = 0}^n \binom km \end{aligned} \]

公式2

\[\sum_{k = 0}^m \binom {n+k}k = \binom {n + m + 1} m \]

推导证明

\[\begin{aligned} \sum_{k = 0}^m \binom {n+k}k &= \sum_{k = 0}^m \binom {n+k}n =\sum_{k = n}^{n + m} \binom kn\\ &=\sum_{k = 0}^{n + m} \binom kn - \sum_{k = 0}^{n-1} \binom kn\\ &=\binom {m + n + 1}{n + 1} - \binom{n}{n + 1}\\ &=\binom {m + n + 1}m \end{aligned} \]

第 3 行运用了上指标求和的公式1 ，\(\binom n {n + 1} = 0\)

2.范德蒙德卷积

\[\sum_{k = 0}^{n}\binom r k\binom s {n - k} = \binom {r + s}{n} \]

组合证明

有 \(r + s\) 个小球选 \(n\) 个小球，枚举在前 \(r\) 个中选 \(k\) 个，在后 \(s\) 个中选 \(n-k\) 个。

推导证明

这里用了二项式定理

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+m}\binom{n+m}kx^k&= (x + 1)^{n + m}\\ &=(x + 1)^n(x + 1)^m\\ &=\sum_{r=0}^n \binom nr x^r + \sum_{r=0}^m \binom ms x^s\\ &=\sum_{k=0}^{n+m}\sum_{r=0}^k\binom{n}{k}\binom{m}{k-r}x^k \end{aligned} \\ \Rightarrow \binom{n+m}k = \sum_{r=0}^k\binom{n}{k}\binom{m}{k-r} \]

3.一行之和

\[\sum_{k=0}^n\binom n k = 2^n \]

组合意义证明

从 \(n\) 个小球里面选任意个小球，每个小球有选和不选两种情况。

推导证明

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^n\binom n k &= \sum_{k=0}^n(\binom {n-1} {k} + \binom {n-1} {k - 1})\\ &= \sum_{k=0}^n2\times \binom {n-1} {k}\\ &=...\\ &=2^n \end{aligned} \]

这里使用帕斯卡公式

4.交错和

\[\sum_{k=0}^m(-1)^k \binom n k = (-1)^m\binom {n - 1}m \]

推导证明

\[\begin{aligned} \sum_{k=0}^m(-1)^k \binom r k &= \sum_{k=0}^m\binom {k-n-1}k\\ &= \binom{m-n}{m}\\ &=(-1)^m\binom {n - 1} m \end{aligned} \]

运用上指标反转和上指标求和。

题目：

例题1

证明：

\[\sum_{i = 0}^n\binom n i \binom {n + i} n = \sum_{i = 0}^n2^i{\binom n i}^2 \]

推导证明：

\[\begin{aligned} \sum_{i = 0}^n\binom n i \binom {n + i} n &=\sum_{i = 0}^n\binom n i \sum_{k=0}^n\binom n k \binom i {n - k}\\ &=\sum_{k = 0}^n\binom n k \sum_{i=0}^n\binom n i \binom i {n - k}\\ &=\sum_{k = 0}^n\binom n k \sum_{i=0}^n\binom n {n-k} \binom {k} {i+k-n}\\ &=\sum_{k = 0}^n\binom n k \binom n {n-k} \sum_{i=0}^n\binom {k} {i+k-n}\\ &=\sum_{k = 0}^n\binom n k \binom n {n-k} \sum_{i=k-n}^k\binom k i\\ &=\sum_{k = 0}^n\binom n k \binom n {n-k} \sum_{i=0}^k\binom k i\\ &=\sum_{k = 0}^n2^i{\binom n i}^2 \end{aligned} \]

主要运用三项系数恒等式，一行求和。特别的，第 5 行到第 6 行是因为 \(\binom a b\) 当 \(b < 0\) 时推公式的时候可以当做 0。

组合意义证明

（你敢想这也有组合意义？）

有 \(n\) 个白球， \(n\) 个黑球。

选 \(n\) 个球涂成红色，在从曾经白色现在红色中选任意个（可以为 \(0\)）涂成蓝色，求方案数。

选法一（对应左式）：

先选 \(n - i\) 个白球涂成蓝色，再从剩余 \(n + i\) 个中选 \(i\) 个染成红色。

枚举 \(i\)，加法原理求和。

\[\sum_{i=0}^{n} \binom {n}{n-i}\binom{n+i}{i}=\sum_{i=0}^{n} \binom {n}{i}\binom{n+i}{n} \]

选法二（对应右式）：

先从白球中选 \(i\) 个涂成红色，黑球中选 \(n-i\) 个涂成红色，再从曾经白色现在红色中选任意个涂成蓝色。

\[\sum_{i = 0}^n\binom ni\binom n {n-i}\times2^i = \sum_{i = 0}^n 2^i {\binom ni}^2 \]

\[\sum_{i满足条件1}f(i)\sum_{j满足条件2(和i有关)}g(j) \]

例题2

证明

\[\sum_{k = 0}^n\frac 1 {2^k} \binom {n + k}k = 2^n \]

推导：

声明 \(f(n)\) 使得

\[f(n) = \sum_{k = 0}^n\frac 1 {2^k} \binom {n + k}k \]

\[ \begin{aligned} f(n) &= \sum_{k = 0}^n\frac 1 {2^k} \binom {n + k}k \\ &= \sum_{k = 0}^n\frac 1 {2^k} \binom {n + k - 1}{k} + \sum_{k = 0}^n\frac 1 {2^k} \binom {n + k - 1}{k - 1}\\ &= \sum_{k = 0}^{n-1}\frac 1 {2^k} \binom {n + k - 1}{k} +\frac 1 {2^n} \binom {2n - 1}{n} + \sum_{k = -1}^{n-1}\frac 1 {2^{k+1}} \binom {n + k}{k}\\ &=f(n-1)+\frac 1 {2^n} \binom {2n - 1}{n} + \frac 1 2\sum_{k = 0}^{n-1}\frac 1 {2^{k}} \binom {n + k}{k}\\ &=f(n-1)+\frac 1 2\sum_{k = 0}^{n}\frac 1 {2^{k}} \binom {n + k}{k} +\frac 1 {2^n} \binom {2n - 1}{n}-\frac12\times\frac1{2^n}\binom {2n}{n}\\ &=f(n-1)+\frac 1 2f(n) +\frac 1 {2^n} \binom {2n - 1}{n}-\frac12\times\frac1{2^n}\binom {2n}{n}\\ &=f(n-1)+\frac 1 2f(n) +\frac 1 {2^n} (\binom {2n - 1}{n}-\frac12\binom {2n}{n})\\ &=f(n-1)+\frac 1 2f(n) +\frac 1 {2^n} ((2n-1)\times...\times(n-1)-\frac12(2n)\times...\times(n+1))\\ &=f(n-1)+\frac 1 2f(n) \\ \end{aligned} \]

\[f(0) = 1 , f(n) = 2f(n-1) \]

归纳一下即可。

概率证明：

这个东西非常神秘。

考虑掷硬币，直到正面出现 \(n + 1\) 次停止，在 \(n + k + 1\) 次停止的概率是

\[\frac 1 {2^{n + k}}\binom {n + k} n \]