阶 原根 离散对数

阶 原根 离散对数

阶

定义

$a\mathrm{mod}p$ 的阶是 $a^e\equiv 1(\mathrm{mod}p)$ 的最小指数 $e$

符号语言: ${\delta }_p(a)$ 代表 $a$ 在 $\mathrm{mod}p$ 的意义下的最小指数 $e$ 使$a^e\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

根据这个表格，我们可以举出一些例子

$${\delta }_5(1)=1{\delta }_7(4)=3{\delta }_{11}(9)=5$$

原根

定义

$$a^q\not\equiv 1(\mathrm{mod}m)q,a\in [1,\phi (m))\cup Z$$

满足上述则 $a$ 是 $\mathrm{mod}m$ 意义下的原根

最小原根 $g$

我们枚举，如果 $gcd(now,n)\ne 1$ 那一定不是原根

找出一个可能是原根的数，我们从 $[1-\phi (n))$ 枚举每个 $k$ 判断 $no{w}^k\equiv 1(\mathrm{mod}m)$ 是否成立

如果全都不同余 $1$ ，那么就找到了 $g$ ，可以容易的找出其他原根：

    while(++g){
        int now=1,bj=0;
        if(gcd(g,n)!=1) continue;
        for(int j=1;j<phi[n];j++){
            now=now*g%n;
            if(now==1){
                bj=1;
                break;
            }
        }
        if(bj==1) continue;
        else if(bj==0){
            break;
        }
    }

找出其他原根

我们认为 $g$ 是最小的原根

寻找方法：

$$\mathrm{在}gcd(k,\phi (m))=1\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{下},(g^k)\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{模}m\mathrm{意}\mathrm{义}\mathrm{下}\mathrm{的}\mathrm{原}\mathrm{根}$$

我们考虑当 $gcd(k,\phi (m))=g$ 的时候 ${g^k}^{\frac{\phi (m)}{k}}$ 会同余 $1$

代码

    int now=g;
    ans[++cnt]=g;
    for(int j=2;j<phi[n];j++){
        now=now*g%n;
        if(gcd(j,phi[n])!=1) continue;
        ans[++cnt]=now;
    }

有无原根

这些数有原根

$\mathrm{结}\mathrm{论}：2,4,p^k,2\times p^k，\mathrm{其}\mathrm{中}p\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{素}\mathrm{数}，k\mathrm{为}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}。$

证明详见

原根

原根数量

我们在前面可以知道，当求出一个g(最小原根)，

$$\mathrm{在}gcd(k,\phi (m))=1\mathrm{条}\mathrm{件}\mathrm{下},(g^k)\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{模}m\mathrm{意}\mathrm{义}\mathrm{下}\mathrm{的}\mathrm{原}\mathrm{根}k\in [1,\phi (m))$$

有多少个 $k$ 满足:$k\in [1,\phi (m))gcd(k,\phi (m))=1$

其实就是 $\phi (\phi (m))$

总代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int phi[N],prim[N],v[N],vis[N],tot=0,ans[N],cnt=0;
int t,n,d;
void pre(){
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<=N-1;i++){
        if(!v[i]){
            prim[++tot]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&prim[j]*i<=N-10;j++){
            v[i*prim[j]]=1;
            if(i%prim[j]==0){
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*prim[j];
                break;    
            }else{
                phi[i*prim[j]]=phi[i]*phi[prim[j]];
            } 
        }
    }
    vis[2]=1;
    vis[4]=1;
    for(int i=2;i<=tot;i++){
        for(long long j=1;j<=N;j=j*prim[i]){
            if(j>N-10){
                break;    
            }
            vis[j]=1;
            if(2*j<=N-1) vis[2*j]=1;
        }
    }
}//预处理phi和prime
int gcd(int x,int y){
    if(y==0) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
void input(){
    scanf("%d",&t);
    for(int i=1;i<=t;i++){
        cnt=0;
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        scanf("%d%d",&n,&d);
        if(!vis[n]){
            printf("0\n\n");
            continue;    
        }
        int g=0;
        while(++g){
            int now=1,bj=0;
            if(gcd(g,n)!=1) continue;
            for(int j=1;j<phi[n];j++){
                now=now*g%n;
                if(now==1){
                    bj=1;
                    break;
                }
            }
            if(bj==1) continue;
            else if(bj==0){
                break;
            }
        }
        int now=g;
        ans[++cnt]=g;
        for(int j=2;j<phi[n];j++){
            now=now*g%n;
            if(gcd(j,phi[n])!=1) continue;
            ans[++cnt]=now;
        }
        sort(ans+1,ans+1+cnt);
        printf("%d\n",phi[phi[n]]);
        for(int j=1;j<=phi[phi[n]]/d;j++){
            printf("%d ",ans[j*d]);
        }
        printf("\n");

    }
}
int main(){
//     freopen("1.txt","w",stdout);
    pre();
    input();

    return 0;
}

离散对数

就是对数的定义，只不过在模意义下

定义

对于正整数 $p$ , $p$ 的原根 $g$ ，整数 $b$，使得 $g^x\equiv b(\mathrm{mod}p)$ 则称 $x$ 为 $b$ 的离散对数，记作

${\log }_g(b)$

性质

1.当 $p$ 为质数时，$\forall i\in [0,p-1]$ 在 $[0,p-1]$ 范围内都有唯一对应的离散对数。

2.当 $p$ 为奇质数的幂时，$p$ 的倍数不存在离散对数，通常需要特殊处理。$2p^k$ 也类似。

利用离散对数可以将模 $p$ 意义下的 $xy$ 转化为 $g^{{\log }_g(x)+{\log }_g(y)}$

BSGS

题目描述：

已知 $a,b,p$，求模 $p$ 意义下 $x={\log }_a(b)$ ，保证 $p$ 为质数 。

根据性质1，在 $x\in [1,m]⟹b\in [1,m]$

我们枚举 $x$ ，可以得到答案，但时间复杂度不能接受

我们考虑更优秀的枚举：

$\mathrm{设}x=A\times \sqrt{m}-B(A,B\in [1,\sqrt{m}])$

可以发现现在依旧 $x\in [1,m]$

转换一下

$$a^{A\times \sqrt{m}-B}\equiv b(\mathrm{mod}m)⟹a^{A\times \sqrt{m}}\equiv b\times a^B(\mathrm{mod}m)$$

发现现在只有两个未知数A,B我们可以先枚举一次B预处理

用map记录所有 $b\times a^{B}modm$

再枚举A算出 $a^{A\ast \sqrt{m}}modm$ 在map找找有没有对应的