概率生成函数

概率生成函数

认识概率生成函数，形如

$$f(x)=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}P(X=i)x^i$$

也就是 i 次项的系数是随机变量 X 等于 i 的概率。

这个东西有两个用处：

1 关于概率

$f(1)=1$ 其实就是把 $f(x)$ 的所有系数加起来，而这里的系数就是概率

2 关于期望

想一想，上面的式子想出现期望，是不是需要在 $P(X=i)$ 上乘一个 i 呀？如何让这个 i 出现呢？求导啊！

$$f^{\prime }(x)=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}iP(X=i)x^{i-1}\Rightarrow f^{\prime }(1)=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}iP(X=i)$$

综上所述

$$f(1)=1f^{\prime }(1)=E(X)$$

先设一个变量 $Y$ 表示（任意一次随机的过程中）停止的时候 $T$ 的长度，也就是随机了 $Y$ 个字符的时候恰好随机出 $S$。

引入两个概率生成函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，分别表示 $Y=i$ 的概率和 $Y>i$ 的概率。也就是

$$f(x)=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}P(Y=i)g(x)=\sum _{i=0}^{+\mathrm{\infty }}P(Y>i)$$

$f_i$ 表示 $f(x)$ 的 $x^i$ 次方系数，也就是 $Y=i$ 的概率， $g_i$ 同理。

接下来就可以建立一些递推式子：

$$g_i=f_{i+1}+g_{i+1}(i\ge 1)$$

生成函数中则为（ $+1$ 是因为处理边界情况）：

$$xg(x)+1=f(x)+g(x)\Rightarrow f(x)=(x-1)g(x)+1$$

再求导(函数乘积求导公式$[g(x)f(x){]}^{\prime }=g(x{)}^{\prime }f(x)+f(x{)}^{\prime }g(x)$)：

$$f^{\prime }(x)=(x-1)g^{\prime }(x)+g(x)$$

过程2

我们设一个新的数列 $h_i(i\ge 0)$ 表示同时满足下列两个条件 （记为事件A） 的概率：

1.随机了 $i$ 个字符但没出现 $S$

2.接着无条件随机 $m$ 个字符( $m$ 是 $S$ 长度) ，且 $m$ 个字符刚好为 $S$

什么叫“无条件”呢？就是随机这 $m$ 个字符的过程中，有可能还没随机够 $m$ 个，就已经出现 $S$ 了。这种情况下我们强迫它一定要随机够 $m$ 个。

相当于，$h_i$​ 表示的是这一个事件 $A$ 的发生概率：

如何计算 $h_i$？

第一种方法

两事件相互独立，概率乘起来，即有：

$h_i=g_i{n}^{-m}$

第二种方法

如果事件 $A$ 发生，则一定满足 $i<Y\le i+m$ ，我们讨论 $Y$ 每一个取值

假设$Y=y$ ，这个前提的概率是 $f_i$ ，我们求出在这个前提下事件 $A$ 发生的概率乘起来并且将$Y=yy\in (i,i+m]$ 的所有概率加起来就是事件 $A$ 发生的概率 $h_i$

设 $t=y-i$ 也就是代表无条件随机 $t$ 个字符就出现 $S$

重点

那么字符串 $S_0-S_t$ 一定为一个前缀(因为从 $0-t$ )

那么字符串 $S_0-S_t$ 一定为一个后缀(因为我们从 $t$ 结束的 )

也就是 $S$ 的 $border$

概率也就好求了

条件 $b$ 是概率性的，剩下来的字符和前面的是独立的，因此这 $m-t$ 个字符满足要求的概率就是 $n^{-(m-t)}=n^{t-m}$。

因此在 $Y=y,t=y-i$ 条件下，事件 $A$ 的概率是 $[S_0-S_t\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}border]n^{t-m}$

根据全概率公式，把所有可能情况的概率加起来，事件 A 发生的概率 $h_i$ 就是

$$\sum _{t=1}^m{f}_y{n}^{t-m}[S_0-S_t\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}border],t=y-i\Rightarrow h_i=\sum _{t=S\mathrm{的}border\mathrm{长}}{f}_{i+t}{n}^{t-m}$$

综上，根据两种方法求出的 $h_i$ 联立

$$\begin{gathered} g_i{n}^{-m}=\sum _{t=S\mathrm{的}border\mathrm{长}}{f}_{i+t}{n}^{t-m} \\ \Rightarrow g_i=\sum _{t=S\mathrm{的}border\mathrm{长}}{f}_{i+t}{n}^t \end{gathered}$$

把 $g(x)$ 乘以 $x^m$，第 $i+m$ 项的系数变成了 $g^i$​。

把 $f(x)$ 乘以 $x^{m-t}$，第 $i+m$ 项的系数变成了 $f_{(i+m)-(m-t)}=f_{i+t}$​

所以

$$x^m\ast g(x)=\sum _{t=S\mathrm{的}border\mathrm{长}}{x}^{m-t}f(x)n^t$$

我们要求期望，也就是 $g(1)$

$$g(1)=\sum _{t=S\mathrm{的}border\mathrm{长}}f(1)n^t$$

翻到前面可以看到 $f(1)$ 是总概率是 $1$

得到：

$$g(1)=\sum _{t=S\mathrm{的}border\mathrm{长}}{n}^t$$

$border$ 用 kmp 求一下就可以啦（本题 $S$ 本身也是 $S$ 的border）