积性函数

积性函数

引入：

我们在线性筛质数的时候使用的方法是这样的

void GetPrime(int n){
    memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
    isPrime[1] = 0;//1不是素数
    for(int i = 2; i <= n; i++){
        if(isPrime[i])
            Prime[++cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= cnt && i*Prime[j] <= n; j++) {
            isPrime[i*Prime[j]] = 0;
            if(i % Prime[j] == 0)
                break; 
        }
    }
}

在这个程序里面我们保证一些东西：

1. $i\mathrm{mod}Prime[j]==0$ 时候 $Prime[j]$ 一定是 $i$ 的最小质因子

从小到大枚举 $Prime[j]$ 这显而易见

2.$i\times Prime[j]$中 $Prime[j]$ 一定是最小质因子

设 $x=i\times Prime[j]$

如果有更小的质因子 $p$ ，那么一定满足 $i\mathrm{mod}p=0$ 会在前面直接判断跳出循环

3. $x$ 一定被筛一次并且被他的最小质因子筛

积性函数：

定义：一个数是积性函数当且仅当：

$$f(nm)=f(n)f(m)(gcd(m,n)=1)$$

而在积性函数中，经常使用到以下几个重要的积性函数（容易证明它们都是积性的）：
    • $\tau (n)$ 表示正整数 $n$ 的正因子个数。
    • $\sigma (n)$ 表示正整数 $n$ 的正因子和。
    • $\mu (n)$ 表示正整数 $n$ 的 Mobius 函数值。
    • $\phi (n)$ 表示正整数 $n$ 的欧拉函数值，即 [1, n] 中与 n 互质的数的个数。

积性函数一般搭配线性筛用

我在这里以 $\tau (n)$ 为例子

当

$$f(nm)=f(n)f(m)(gcd(m,n)=1)$$

可以直接相乘

当$i\mathrm{mod}Prime[j]==0$

我们设 $x=i,y=prime[j]$

那么一定有

$$x=k\times y^m$$

那么可以表示为

$$x\times y=k\times y^{m+1}$$

这样 $k$ 和 $y^{m+1}$ 一定互质，可以直接相乘

但假如 $i=16,Prime[j]=2$

那么 $k=1,y^{m+1}=32$

我们并没有算出 $32$ 的函数值，怎么办呢？

我们可以发现 $y^{m+1}$ 的特性，他的因子一定是

$$y^0,y^1,y^2...y^{m+1}$$

函数值就直接等于 $m+2$

这样就有了以下代码

void pre(){
	a[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= N; ++i){
		isP[i] = 1;
	}
	for(int i = 2;i <= N; ++i){
		if(isP[i] == 1){
			prime[++tot] = i;
			a[i] = 2;//如果是质数一定有两个因子
		}
		for(int j = 1;j <= tot && prime[j] * i <= N - 10; ++j){
			isP[prime[j] * i] = 0;
			if(i % prime[j] == 0){
				int add = 0,sum = 0,x = i,y(prime[j]);
				while(x % y == 0){
					x = x / y;
					add++;
				} 
				a[prime[j] * i] = a[x] * (2 + add);
				break;
			}
			a[prime[j] * i] = a[prime[j]] * a[i];
		}
	}
}

但时间复杂度变成了 $O(n\log n)$ ，如何优化？

我们记录 $ad{d}_i$ 表示 $i$ 的最小质因子，就可以用空间换时间：

具体代码实现如下

void pre(){
	a[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= N; ++i){
		isP[i] = 1;
	}
	for(int i = 2;i <= N; ++i){
		if(isP[i] == 1){
			prime[++tot] = i;
			a[i] = 2;//如果是质数一定有两个因子
            add[i] = 1;//注意
		}
		for(int j = 1;j <= tot && prime[j] * i <= N - 10; ++j){
			isP[prime[j] * i] = 0;
			if(i % prime[j] == 0){
				int x = i,y(prime[j]);
                add[i * prime[j]] = add[i] + 1;//注意
				a[prime[j] * i] = a[x/(add[i])] * (1 + add[i]);//注意
				break;
			}
			a[prime[j] * i] = a[prime[j]] * a[i];
            add[i * prime[j]] = 1;//注意
		}
	}
}