Phi的反函数

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P4780 Phi 的反函数

update 2023/2/17 作者笔误

$\phi$ 定义

$\phi (n)$ 代表从 $1-n$ 所有与 $n$ 互质的数的个数。

求$\phi (n)$

普通求法：

首先将 $n$ 唯一分解为：

$n=x_1^{p_1}\times x_2^{p_2}\dots \dots \times x_n^{p_n}$

$\phi (n)=n\times (1-\frac{1}{x_1})\times (1-\frac{1}{x_2})\times \dots \dots \times (1-\frac{1}{x_n})$

证明：

首先我们考虑在所有数中有 $\frac{1}{x}$ 的概率会取到一个数是 $x$ 的倍数，那么有 $(1-\frac{1}{x})$ 的概率会取到一个数不是 $x$ 的倍数， $1-n$ 有 $n$ 个数，我们要找到 $1-n$ 所有与 $n$ 互质的数，也就是去一个不是 $n$ 的任意一个因数 $(x_1,x_2,x_3\dots \dots x_n)$ 的倍数，就得到以上式子。

两个定理：

$$1.\{\begin{array}{l}\phi (nm)=\phi (n)\times \phi (m)gcd(n,m)=1\\ \phi (nm)=\phi (n)\times mgcd(n,m)=m\end{array}$$

定理 1 证明：

在 $gcd(n,m)=1$ 情况下可以推导：

$n=x_1^{p_1}\times x_2^{p_2}\dots \dots \times x_n^{p_n}$

$m=y_1^{q_1}\times y_2^{q_2}\dots \dots \times y_n^{q_n}$

$n\times m=x_1^{p_1}\times x_2^{p_2}\dots \dots \times x_n^{p_n}\times y_1^{q_1}\times y_2^{q_2}\dots \dots \times y_n^{q_n}$

$\phi (nm)=n\times m\times (1-\frac{1}{x_1})\dots \dots \times (1-\frac{1}{x_n})\times (1-\frac{1}{y_1})\dots \dots \times (1-\frac{1}{y_n})=\phi (n)\times \phi (m)gcd(n,m)=1$

2. 在 $gcd(n,m)=m$ 情况下

考虑感性理解， $1-n$ 里面有 $\phi (n)$ 个与 $n$ 互质，那么扩大 $m$ 倍，相当于有 $m$ 个 $1-n$ 就直接乘(因为我们保证了 $gcd(n,m)=m$ 也就是 $n$ 是 $m$ 的倍数,所以不存在乘上 $m$ 后多出了不属于 $n$ 的因子)。

定理 2.$\phi (n)=n-1n\in prim$（这显而易见）

我们需要求 Phi 的反函数就要先深刻理解上述内容然后进行运用

可以根据上述定理 1 得到：

（在这里我们用到了定理一第一类和定理一第二类的一种特殊情况 $\phi (n\times n)=\phi (n)\times n$

得出
$\phi (x)=\phi (a_1)\times a_1^{p_1-1}\times \phi (a_2)\times a_2^{p_2-1}\times ......\phi (a_n)\times a_n^{p_n-1}{a}_i\in prime$

由定理二得： $a_i$ 都是质数，所以 $\phi (a_i)=a_i-1$

所有质数分解出来不超过 $10$ 个，因为$2\times 3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17\times 19\times 23\times 29=6469693230$

$2^{31}=2147483648$

所以可以直接暴力搜索。

（关于判断是否为质数的函数）

因为数据范围在 $2^{31}$ ,如果我们求 $2^{31}$ 范围内的质数，直接爆炸，

其实我们只需要找出 $2^{16}$ 的质数，每次判断一下当前这个数 $now+1$ (也就是 $revphi(now)$ 是不是质数

例如 $\phi (x)=n=\phi (3)\times \phi (10000000007)$。

第一次找到 $\phi (3)$ 处理以后，由于我们只找了 $2^{16}$ 的质数，我们找不到 $\phi (1000000007)$ 在里面，我们需要每次判断当前这是数是不是质数。

具体的：

第一次判断 $\phi (3)\times \phi (1000000007)$ 显然不是质数。

除以 $\phi (3)$ 后变成了 $\phi (1000000007)$ 也就是 $now=1e9+6$。

第二次判断 $(now+1)\in prime$ 那么直接把质数给除了，直接结束了。

那么怎么得出答案呢

$$1.\{\begin{array}{l}\phi (nm)=\phi (n)\times \phi (m)gcd(n,m)=1\\ \phi (nm)=\phi (n)\times mgcd(n,m)=m\end{array}$$

$\phi (x)=\phi (a_1)\times a_1^{p_1-1}\times \phi (a_2)\times a_2^{p_2-1}\times ......\phi (a_n)\times a_n^{p_n-1}{a}_i\in prime$

我们再来重新看看这些式子：

可以看出最后的 $ans=a_1\times a_1^{p_1-1}\times a_2\times a_2^{p_2-1}\times ......\times a_n\times a_n^{p_n-1}$

代码：

#include<bits/stdc++.h> 
#define ll long long 
using namespace std;
const int N=1e7+10;
int vis[N],s[30],tot=0,n,cnt=0;
ll ans=1e17+10,prim[N];
void shai(int x){
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(!vis[i]){
            prim[++tot]=i;
        }
        for(int j=1;j<=tot&&i*prim[j]<=x;j++){
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(!i%prim[j]){
                break;
            }
        }
    }    
}//质数筛
bool is_p(ll x){
    for(int i=2;i* i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            //cout<<x<<i<<endl;
            return 0;
        }
    }
    return 1;
}//判断是否为质数
void dfs(int now,int id,ll rev){//id代表当前干过的质数，是个优化
    if(now>=ans) return ;//简单优化
    if(now==1){
        ans=min(rev,ans);
        return ;
    }
    if(is_p(now+1)) dfs(1,id+1,rev*(now+1));
    for(int i=id;i<=tot;i++){
        if(now%(prim[i]-1)==0){
            int a=now;
            ll b=rev;
            a/=(prim[i]-1);b*=prim[i]; //定理1的情况1
            dfs(a,i+1,b);
            while(a%prim[i]==0){//定理1的情况2
                a/=prim[i];b*=prim[i]; 
                dfs(a,i,b);
            } 
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    shai(sqrt(n)+1);    
    dfs(n,1,1);
    if(ans==1e17+10){//无解或者太大了
        printf("-1");
    }else printf("%lld",ans);
    return 0;
}
//2147483647