矩阵乘法与其运用

矩阵乘法与其运用（logn递推）

规则：

1.当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right)$$

如上图所示，A的行数等于B的列数

2.矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。

3.乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

$$A=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\end{array}\right]$$

$$B=\left[\begin{array}{c}{b}_{1,1}\\ b_{2,1}\\ b_{3,1}\end{array}\right]$$

$$C=A\ast B=\left[\begin{array}{c}{a}_{1,1}\ast b_{1,1}+a_{1,2}\ast b_{2,1}+a_{1,3}\ast b_{3,1}\\ a_{2,1}\ast b_{1,1}+a_{2,2}\ast b_{2,1}+a_{2,3}\ast b_{3,1}\end{array}\right]$$

有了矩阵我们可以干嘛呢？

不可以能出门买菜还要用矩阵吧

本人学识浅薄，目前只了解一些应用，浅谈一下

在O（logn）时间复杂度推递推式

我们以最简单的递推式斐波那契为例子

$$f[i]=f[i-1]+f[i-2]$$

如果扩展一下

$$\{\begin{array}{l}\text{f[i]=f[i-1]+f[i-2]}\\ \text{f[i-1]=f[i-1]+0*f[i-2]}\end{array}$$

为什么要这样扩展呢？

这样可以适配矩阵乘法

$$\left[\begin{array}{c}f[i-1]\\ f[i-2]\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\ast f[i-1]+1\ast f[i-2]\\ 1\ast f[i-1]+0\ast f[i-2]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}f[i]\\ f[i-1]\end{array}\right]$$

这样就把递推变成矩阵乘法

为什么要这样变成矩阵呢，直接推不好吗，矩阵有什么好处呢？

我们可以很容易的发现之前是两个递推式中的数相加得到第3个

而矩阵中是递推矩阵中的一个乘上一个常量矩阵

在斐波那契中我们可以用下面的式子

$$\left[\begin{array}{c}f[0]\\ f[1]\end{array}\right]\ast {\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n$$

快速算出f[n]与f[n+1]

如何快速算常数矩阵

$${\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]}^n$$

考虑快速幂O（logn）

完结撒花~~~~