一些计数题

可能是血（水）考前最后一篇题解了，不过还是写写题解吧。

大部分来源51nod

51nod1253 Kundu and Tree

挺思博的一道题。首先黑色边没用，所以可以把其视为连通块，然后走出该连通块必然要经过至少一条红色边，于是就是总方案数减3个全在一个黑连通块再减去2个在一个黑连通块。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e4+7,mod=1e9+7;
int n,ans,fa[N],sz[N];
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
int C3(int x){return x<3?0:1ll*x*(x-1)*(x-2)/6%mod;}
int C2(int x){return x<2?0:1ll*x*(x-1)/2%mod;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n<3){puts("0");return 0;}
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    for(int i=1,x,y;i<n;i++)
    {
        char op;scanf("%d%d %c",&x,&y,&op);
        if(op=='b')x=find(x),y=find(y),fa[x]=y;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)sz[find(i)]++;
    ans=C3(n);
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans-C3(sz[i])-1ll*C2(sz[i])*(n-sz[i])%mod+2*mod)%mod;
    printf("%d",ans);
}

 然后看看不那么思博的题吧

51nod1149 Pi的递推式

假设把题目改成fib数列，做法是小学组难度。然后可以考虑别的做法吗？答案是肯定的。用O(n)的另一种方法求，就是ΣC(a+b,a)，其中a+2b=n，然后这题就可以把2改成π，加到的目标数在区间(n-4,n]，然后若加到(n-4-π,n-4]，则加π即可，加到(n-4-1,n-4]，则加1即可。难点在于加到哪个区间。于是分别枚举加多少个1/π即可完成目标。类比下来，所有f[i]=f[i-a]+f[i-b]都能在O(n)复杂度解决问题。

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int N=1e6+7,mod=1e9+7;
const double pi=acos(-1);
int n,m,ans,fac[N],inv[N];
int qpow(int a,int b)
{
    int ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=1ll*ret*a%mod;
        a=1ll*a*a%mod,b>>=1;
    }
    return ret;
}
int C(int a,int b){return 1ll*fac[a]*inv[b]%mod*inv[a-b]%mod;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n<4){puts("1");return 0;}
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=n;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
    inv[n]=qpow(fac[n],mod-2);for(int i=n;i;i--)inv[i-1]=1ll*inv[i]*i%mod;
    for(int i=0;i<=n-4;i++)ans=(ans+C(i+(n-4-i)/pi,i))%mod;
    for(int i=0;i<=(n-4)/pi;i++)ans=(ans+C(i+n-4-i*pi,i))%mod;
    printf("%d",ans);
}