数据结构--树状数组

树状数组

一般求解带修改的区间查询。比如带修改的区间和问题。

lowbit

lowbit(x) 二进制下x最低位的１所对应的数,返回的是\(2^k\)。

比如8(1000)返回8，7(0111) 返回1。

比如说要更新2这个点,首先2更新,然后2+lowbit(2)=4更新,然后4+lowbit(4)=8更新...

更新7这个点,首先7更新,然后7+lowbit(7)=8更新...

比如说要查询1-2的区间和,首先返回2的值,然后2-lowbit(2) = 0结束

比如要查询1-7的区间和,首先返回7的值,然后7-lowbit(7) = 6,然后6-lowbit(6) = 4,然后4-lowbit(4)=0结束

单点更新,区间查询

int a[maxn],t[maxn];        //原数组,树状数组

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k)        //在i的位置上加k
{
    while (i <= n)
    {
        t[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i)           //求1-i区间的和
{
    int res = 0;
    while (i > 0)
    {
        res += t[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

区间更新,单点查询

利用差分建树,1-i区间的的和就是i的值\(A[i] = \sum_{j=1}^i D[j]\)
[x,y]区间内加上k,因为是单点查询,只要求i的时候加到了k,就是正确的
updata(x,k); //加上k
updata(y+1,-k); //之后的减去k

区间更新,区间查询

i的前n项和\(\sum_{i=1}^n A[i] = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i D[j]\)
\(= n * D[1] + (n-1) * D[2] + (n-2) * D[3] + \cdots + D[i]\)
\(= n * A[n] - (0 * D[1] + 1 * D[2] + 2 * D[3] + \cdots + (n-1) * D[n])\)
所以\(\sum_{i=1}^n A[i] = n * \sum_{i=1}^n D[i] - \sum_{i=1}^{n} (D[i] * (i-1))\)
sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);

int a[maxn],sum1[maxn],sum2[maxn];

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){
    int x = i;    //因为x不变，所以得先保存i值
    while(i <= n){
        sum1[i] += k;
        sum2[i] += k * (x-1);
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i){        //求前缀和
    int res = 0, x = i;
    while(i > 0){
        res += x * sum1[i] - sum2[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

参考博客

https://www.cnblogs.com/xenny/p/9739600.html