条件概率、全概率与贝叶斯概

1、条件概率公式

       　　 设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：

                                    P(A|B)=P(AB)/P(B)

              设A,B是两个事件，且P(A)>0,则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率（conditional probability)为：

                                    P(B|A)=P(AB)/P(A)

2、乘法公式

         1.由条件概率公式得乘法公式：

                                    P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)    

        

3、全概率公式

        1）、 如果事件组B₁，B₂，.... 满足

               （1）、B₁，B₂....两两互斥，即 B_i ∩ B_j = ∅ ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(B_i)>0,i=1,2,....；

               （2）、B₁∪B₂∪....=Ω ，则称事件组 B₁,B₂,...是样本空间Ω的一个划分。

                  设 B_1，B_2，...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：

                                                       

                  上式即为全概率公式（formula of total probability)。

       2）、全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难，而P(B_i)，P(A|B_i)  (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B₁,B₂,...B_n,这样事件A就被事件AB₁,AB₂,...AB_n分解成了n部分，即A=AB₁+AB₂+...+AB_n, 每一B_i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B_i)，由加法公式得：

                                 P(A)=P(AB₁)+P(AB₂)+....+P(AB_n) =P(A|B₁)P(B₁)+P(A|B₂)P(B₂)+...+P(A|B_n)P(PB_n)

        3）实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

                解：设任取一个产品是次品的事件为A，甲机床生产次品的事件为B1，乙机床生产次品的事件为B2，丙机床生产次品的事件为B3，则：

                                            P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)

                                                   =P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)

                                                   =25%*5%+4%*35%+2%*40%

                                                   =0.0345

 

4、贝叶斯公式

      1）、与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B₁,B₂,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0)，有

                                                    

         上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，B_i 常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(B_i)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(B_i|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之后，再对各种原因概率的新认识，故称后验概率。

      2）、实例：发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“∪”和“—”。由于通信系统受到干扰，当发出信号“∪”时，收报台分别以概率0.8和0.2受到信号“∪”和“—”；又当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“∪”。求当收报台收到信号“∪”时，发报台确系发出“∪”的概率。

         解：设收报台收到信号“∪”为事件A，基本事件B1为发报台发出信号“∪‘’，基本事件B2为发报台发出信号“—‘’，则：

               P(B1|A）=[   P(B1)P(A|B1)  ]  / [ P(B1)P(A/B1) +P(B2)P(A/B2)  ]  

                             = (0.6*0.8)/(0.6*0.8+0.4*0.1)

                             =0.923

 

 

参考链接：http://www.cnblogs.com/ohshit/p/5629581.html

                http://blog.csdn.net/csfreebird/article/details/25009545