【UOJ424】count

题面

UOJ

题解

\(m>n\)显然无解。

建出这个序列的笛卡尔树（如果大小相同则取最左的点），那么一颗笛卡尔数对应且只对应一种序列。

考虑这棵笛卡尔树的性质，就是往左儿子走它的数的大小必然减小至少\(1\)，而往右走是不一定减一的。

那么这棵笛卡尔树必须要满足从根往叶子节点走，向左走的次数\(\leq m\)。

考虑这个笛卡尔树的括号序列，就是说一个点每往左走就打一个(然后回溯回来就打一个)，向右儿子走则不管，注意一个点如果没有左儿子的话就直接上一个()。

设(权值为\(1\)，)权值为\(-1\)，那么这个括号序列需要满足的要求有：\(0\leq\)前缀和\(\leq m\)。

将这个转成格路问题，就是从\((0,0)\)走整点到\((n,n)\)，其中每一步只能向右或向上走一格，且不能碰到直线\(A:y=x+1,B:y=x-m-1\)，问方案数。

将连续碰到一条直线看作一次碰撞(例如\(ABBAAB\)看作\(ABAB\))，那么可以枚举一次碰到什么直线，容斥计数即可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <cmath> 
#include <algorithm>
#include <tuple>
using namespace std; 
const int Mod = 998244353; 
const int MAX_N = 2e5 + 5; 
int fpow(int x, int y) { 
	int res = 1; 
	while (y) { 
		if (y & 1) res = 1ll * res * x % Mod; 
		x = 1ll * x * x % Mod; 
		y >>= 1; 
	} 
	return res; 
} 
int N = 2e5, M, fac[MAX_N], ifc[MAX_N]; 
int C(int n, int m) { 
	if (n < 0 || m < 0 || n < m) return 0; 
	else return 1ll * fac[n] * ifc[m] % Mod * ifc[n - m] % Mod; 
} 
int main () { 
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("cpp.in", "r", stdin); 
#endif 
	fac[0] = 1; for (int i = 1; i <= N; i++) fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % Mod; 
	ifc[N] = fpow(fac[N], Mod - 2); 
	for (int i = N - 1; ~i; i--) ifc[i] = 1ll * ifc[i + 1] * (i + 1) % Mod; 
	cin >> N >> M;
	if (M > N) return puts("0") & 0; 
	int x = N, y = N, ans = C(x + y, x); 
	while (x >= 0 && y >= 0) { 
		tie(x, y) = make_tuple(y - 1, x + 1), ans = (ans - C(x + y, x) + Mod) % Mod; 
		tie(x, y) = make_tuple(y + M + 1, x - M - 1), ans = (ans + C(x + y, x)) % Mod; 
	} 
	x = y = N;
	while (x >= 0 && y >= 0) { 
		tie(x, y) = make_tuple(y + M + 1, x - M - 1), ans = (ans - C(x + y, x) + Mod) % Mod; 
		tie(x, y) = make_tuple(y - 1, x + 1), ans = (ans + C(x + y, x)) % Mod; 
	} 
	printf("%d\n", ans); 
    return 0; 
}